第22章 小數法則—樣本大小與統計結論(2)
我們知道，大數法則需要很大的樣本數才能發揮作用，基數越大，就越穩定。隨著樣本的增大，隨機變量對平均數的偏離是不斷下降的。所以，大醫院更穩定。這一基本的統計概念顯然與人們的直覺是不符的。
杜伊先生果然鑽進了圈套，他認為較大的醫院有更多超過60%的新生兒是男孩的日子。
再沒有一種學問比概率更能讓專家洋相百出了。一個整天向學生灌輸大數法則的教授，自己居然不相信大數法則！
普通人又如何呢？
特韋斯基後來把這個問題做了嚴格的實驗。22%的受試者認為較大的醫院有更多這樣的日子，而56%的受試者認為兩個醫院有相等的可能性，僅僅22%的受試者正確地認為較小的醫院會有更多這樣的日子。
很多研究者，其實也是“直覺型統計學家”，很多一本正經的調研數據，其實一文不值。因為調查的樣本過小，就會產生很大的失誤。
就連丹尼爾·卡尼曼也忍不住自我檢討，他也和很多研究型心理學家一樣，曾犯過小數法則的錯誤。而且這種錯誤對於卡尼曼來說甚為尷尬，因為他也曾經教授過統計學。
小數法則
大數法則是統計學的基本常識，有人稱之為“統計學的靈魂”。大數法則雖然威力無窮，普通人卻因它其貌不揚而將其忽視。
針對人們在思考時常常無視大數法則的現象，特韋斯基提出了“小數法則”的概念。“小數法則”不是什麽定律或法則，而是一種常見的心理誤區。
用錯誤的心理學“小數法則”代替了正確的概率論大數法則，這是人們賭博心理大增的緣由。
小數法則是一種心理偏差，是人們將小樣本中某事件的概率分布看成是總體分布。人們在具有不確定性的情形下，會抓住問題的某個特征直接推斷結果，而不考慮這種特征出現的真實概率以及與特征有關的其他原因。
小數法則是一種直覺思維，很多情況下，它能幫助人們迅速地抓住問題的本質推斷出結果，但有時也會造成嚴重的偏差，特別是會忽視事件的無條件概率和樣本大小。
做生意，不要相信“小數法則”
愛因斯坦說：“上帝不擲骰子。”對上帝來說，一切都是確定的。
大數法則就是一種先驗概率，而天生是“概率盲”的人類，卻直覺地相信“小數法則”。
當當網網上商城的創辦人俞渝女士，曾在一個叫作《創業百問》的電視節目中，和郭廣昌這樣討論—
郭總剛才講的，5個合夥人，15年可以同步進步，這事我覺得違反自然規律。這個團隊有人進步有人退步，有人進得多，有人退得少，這在經濟學上來講是一個大數法則。
以剛才描述的現象，在我聽來，是一個小數法則的現象，小數法則裏頭有這種神話，而這種神話發生在您身上，那您很幸運，但是我覺得在其他正在建立團隊的人身上，去同樣複製的可能性很小。我覺得做企業，一定要看大數法則……
小貼士：
大數法則是一種統計定律；小數法則是一種心理偏差。
大數法則是一種科學；小數法則是一種迷信。
大數法則是中性詞；小數法則是貶義詞。
股神大哥的預測模式
行為經濟學家馬修·拉賓曾假設：如果你是一位投資者，你親見一位基金經理在過去兩年中的投資業績好於平均情況。你是否就會得出這位經理要比一般經理優秀的結論？
然而真實的統計意義非常微弱。讓我們來看看股神大哥的預測模式。
第一周，發10000條短信，股神大哥預言某隻股票的漲跌。其中5000條說某隻股票漲，5000條說跌。
第二周，股神大哥向其中說對的5000人再發一條短信，其中2500條說某隻股票漲，2500條說某隻股票跌。
第三周，他再向說對的2500人發短信，其中1250條說某隻股票會漲，1250條說某隻股票會跌。
最後有1250人，發現這位股神大哥連續3次說對某隻股票的漲跌，簡直太崇拜了。其中有500人真的把錢交給他投資了。當然，如果賺錢是要分成的。
股神大哥拿到錢後會做什麽呢？他會給這500個不同的賬戶各買一隻股票，盡量讓這些股票各不相同。一段時間過後，股票有的漲，有的跌。
如果一個人的賬戶買了一隻漲的股票，他對股神大哥就會更加信賴，甚至還會追加投資。
假如碰到一個大牛市，大部分時間裏，大部分股票上漲概率大大超過下跌。因此，股神大哥的這種模式是非常有“錢途”的。
假如來了個大熊市，大部分股票在大部分時間下跌超過上漲，股神大哥也是不用負責的，大不了退出江湖而已。
賭客謬誤
小數法則的經典表現就是“賭客謬誤”。
李太太一連生了五個女兒。
李太太說：“希望我們下一個孩子是男孩。”
李先生說：“親愛的，都生了五個女兒了，下一個肯定是兒子。”
李先生說得對嗎？
眾所周知，擲硬幣正反麵出現的概率為50%，在擲硬幣遊戲中，如果前幾次大多數出現正麵，那麽很多人會相信下一次投擲很可能出現反麵。這就是賭客謬誤（gambler"sfallacy），也是很多賭客信心大增的原因。
賭客謬誤的產生，是因為人們錯誤地詮釋了“大數法則”的平均律。投資者傾向於認為大數法則適用於大樣本的同時，也適用於小樣本。
賭博是隨機事件。
一枚硬幣，連出三把都是正麵，那麽下一把出反麵的概率仍然不會大於50%。
從理論上講，硬幣也好，骰子也好，既沒有記憶，也沒有良心，概率法則支配一切。
隨便到一家合法的賭場，就能看到這種賭客“猜反正”的現象：
連輸幾次就該贏了；
連出幾次紅就感覺該出黑了；
連出幾次莊就以為該出閑了；
連出幾張是小牌肯定該出大牌了；
……
這是很多賭客感覺能戰勝莊家的理論依據，甚至很多有學問的賭徒寫的“賭經”，都明顯帶有這種錯誤。
你可曾見賭客拿本子記錄百家樂出閑和莊？賭癮甚至可以讓一個天資平庸的賭徒變成統計學教授。
理論背景：雅各布與大數法則
雅各布·貝努利（JacobBernoulli）1654年生於瑞士，他沒有遵照父親的意思去當律師或經商，而是自學成為一名數學家。
雅各布生活的時代，是一個牛人輩出的時代。例如約翰·阿布斯諾特（JohnArbuthnot），他是一位禦醫，同時還是一位業餘數學家。他對概率十分感興趣，用豐富的病例來闡述他的觀點。他在一篇論文中，研究了“20歲的婦女是否有處女膜”的概率以及“20歲的花花公子沒得淋病”的概率。
這種學術風氣，促使雅各布開始留意概率問題。雅各布和牛頓生活在同一時代，他有著貝努利家族傳統的自負心態，他認為他和牛頓不相上下。1703年雅各布·貝努利率先提出了如何從樣本中發現概率的問題。
雅各布教授自己的弟弟約翰數學。約翰和雅各布一樣聰明，而且和他的哥哥一樣，他是個對名聲的追求近乎病態的人。
雅各布和弟弟約翰有一個習慣，就是對一個問題有競爭性地進行研究，並且在媒體中無情地攻擊對方。
雅各布雖然發現了大數法則，但由於兄弟倆在科學問題上過於激烈爭論，致使雙方的家庭也被卷入。以至於雅各布死後，他的《猜度術》手稿被他的遺孀和兒子在外藏匿多年，直到1713年才得以出版，幾乎使這部經典著作的價值受到損害。
《猜度術》是雅各布·貝努利一生最有創造力的著作。在這部著作中，他提出了概率論中的“貝努利定理”，該定理是“大數法則”的最早形式。
為了說明大數法則，雅各布假設了一個裝滿30000枚白色石子和20000枚黑色石子的罐子，不知道每種顏色的石子的數目。
我們從罐子中，按不斷增加的數目取出石子，並在將它們放回瓶子之前，記錄每枚石子的顏色。
如果我們取出越來越多的石子，最終我們會得到“接受必然的可能性”，也就是說，在實際事件上是必然的，但又不是絕對的必然—兩種顏色石子的比率是3∶2。
雅各布的計算顯示，從瓶子中取出25550枚石子後，則有大於1000/1001的概率使其結果與真實結果（3∶2）間的差異在2%之內。也就是所謂的“接受必然的可能性”。
雅各布宣稱，我們可以對任何不確定的數量進行科學的預測了。如果我們能“先知”的話，那麽我們幾乎能很準確地判斷“事後”的事例的數目。
由於“大數法則”的極端重要性，1913年12月彼得堡科學院曾舉行慶祝大會，紀念“大數法則”誕生200周年。
《猜度術》是概率論的第一部奠基性著作，所含概率思想具有劃時代的重大意義，可謂對概率論作出了決定性的貢獻，推進了概率論的進一步發展。因而其出版是概率論成為獨立數學分支的標誌。