第23章 正態分布—鍾形曲線的妙用與濫用(1)
把鍾形曲線用在商業領域是不合適的。
—彼得·德魯克
瘋子，就是用錯誤前提進行正確推理的人。
—約翰·洛克
真是令人震驚：鍾形曲線竟然成為風險管理工具，被監管者和穿深色西服、以乏味的方式談論貨幣的中央銀行人員使用。
—尼古拉斯·塔勒布
一棵樹上的果子有大有小，但大部分都是中等的。河裏的石子有圓有扁，但多數屬於不太圓也不太扁的。巨人很少見，侏儒也很稀少，多數人是身高中等的普通人。隻要樣本足夠多，那麽這個樣本群體的情況就會呈現一種規律性。但這種規律卻很可能被濫用……
“數學王子”與鍾形曲線
德國數學家高斯被認為是最重要的數學家，享有“數學王子”的美譽。
高斯的母親是一個貧窮石匠的女兒，雖然十分聰明，卻沒有接受過教育，近似於文盲。高斯的父親曾做過園丁、工頭、商人的助手等。
在整個數學史上，沒有人像高斯那樣早熟，比如高斯三歲時便能夠糾正他父親借債賬目的事情。
高斯自己曾說，他在草堆上學會了計算。能夠在頭腦中進行複雜的計算，是上帝賜予他一生的天賦。
當高斯12歲時，已經開始懷疑元素幾何學中的基礎證明。當他16歲時，預測在歐氏幾何之外必然會產生一門完全不同的幾何學，即非歐幾裏得幾何學。高斯的傳奇、奇聞異事可以寫成厚厚一部故事集。
18歲時，高斯開始專注於曲麵與曲線的計算，並成功得到高斯鍾形曲線（正態分布曲線）。其函數被命名為標準正態分布（或高斯分布），並在概率計算中大量使用。
鍾形曲線是一根兩端低中間高的曲線。高斯用它來描述科學觀察中量度與誤差兩者的分布。
在鍾形曲線上，大部分觀察值都積聚於中間，曲線上的極點對統計結果影響不大。比如，隨機挑選1000個男人進行身高統計，他們之中接近平均值的分布最多，巨人和侏儒分布最少，這種分布就符合正態分布。自然界中的很多隨機變量，可以近似地用鍾形曲線來描述：
一棵蘋果樹上的蘋果有大有小，把這些蘋果一一稱重，會得到一條鍾形曲線。
河床上布滿了鵝卵石，這些石子有圓有扁，把這些鵝卵石的曲度統計出來，也會形成一條鍾形曲線。
茫茫人海，總會有幾個巨人，也會有幾個袖珍人，但大部分人是身高中等的普通人。
同質群體的身高、紅細胞數、血紅蛋白量、膽固醇等，呈現為正態或近似正態分布。
……
隻要樣本足夠多，那麽這個樣本群體的情況就會呈現一種規律性。
數學不會錯，但數學會被用錯
類似這種說法你可能聽說過：
“××效應無處不在！”
“萬事萬物都逃不開××法則！”
說者如此亢奮，仿佛真的發現了一條能解釋宇宙萬物的絕對真理。
就連高斯自己恐怕也沒有想到，自己發現的鍾形曲線，會被泛濫地運用到社會生活的各個方麵。
前麵講過，“統計狂人”高爾頓爵士通過研究豌豆遺傳和人類世代演變，聯想到了均值回歸理論，這個重要理論使得鍾形曲線在很多情況下具有可操作性。
與高爾頓大約同時代，有個數學家叫凱特勒，他號稱：“鍾形曲線無處不在！”
凱特勒要把鍾形曲線用在一切地方，他要把世界納入他的平均哲學中。
凱特勒提出，人的特性均趨向於鍾形曲線的均數或中數，越靠兩極越少。凱特勒從統計學角度出發看人，認為人的成長會依從一套既定的法則。所以，我們可以透過統計數字，去推算一個人的發展。他還發明了通過身高體重比（BMI）來推算一個人的健康狀況。
但凱特勒本人一點也不平均，甚至可以說是個偏執的工作狂。凱特勒對鍾形曲線的癡迷到了走火入魔的境地，他提出了“體質平均人”的概念，通過收集統計數據，他開始製造“平均”的標準。胸圍、身高、新生兒體重……很少有什麽逃過他的標準。
阿道夫·凱特勒又把注意力轉入社會學領域，針對人們的行為模式，提出了“氣質平均人”概念。凱特勒劃定了偏離平均值的範圍，他眼裏的正常人要麽在平均值左邊，要麽在平均值右邊，而那些站在鍾形曲線極左端和極右端的人則屬於另類，需要懲罰。
尼古拉斯·塔勒布在其睥睨群英的作品中，對鍾形曲線進行了深入批判。當然，塔勒布並非對鍾形曲線進行質疑的第一人，他隻是繼承了亨利·龐加萊等人的思想，而這種生搬硬套鍾形曲線的方法論，也被人們稱為“凱特勒謬誤”。
高斯並沒有錯，高爾頓也沒有錯，“凱特勒才是思想史上最具有破壞性的人”。數學不會錯，但數學會被用錯，在凱特勒的“傳染”下，鍾形曲線得以廣泛用於社會領域。
統計歧視
有人調侃，人生就像一個鍾形曲線—
你5歲的時候不尿床就是成功；
10歲的時候你開始有自己的朋友就是成功；
25歲時你有自己的幸福家庭就是成功；
35歲時你依然有自己幸福的家庭就是成功；
65歲時你依然擁有好多朋友就是成功；
85歲時你不尿床就是成功。
類似這種玩笑話並無害處，但有些人卻以科學之名，推銷自己的思想，就變得可怕了。
凱特勒的幽靈還在徘徊，十多年前，曾有一本名為《鍾形曲線》（TheBellCurve）的書熱鬧了一陣子，該書的副標題是《美國生活中的智力和階級結構》。
此書是美國哈佛大學心理學家理查德·J.哈瑞斯坦與政治科學家查爾斯·莫瑞合作完成的。該書主要內容包括四部分：
1.基於智力基礎的社會分層現象日益明顯。
2.智商與各種社會、經濟地位之間存在明顯的相關性。
3.IQ在美國不同種族之間所形成的社會的與經濟的貢獻中的作用。
4.這個了不起的發現對於美國的教育和社會政策會產生哪些影響。
書名之所以稱作“鍾形曲線”，主要是基於IQ得分的鍾形的正態分布。
在書中，作者以大量的智力測量結果論證，人的智力是先天遺傳決定的，不同的種族具有不同的智力水平，這種觀點自然會引起不少爭議。這本嘩眾取寵的作品，為種族歧視提供了理論基礎，也被種族主義者奉為寶典。
將軍裏麵挑瘸子
GE公司前CEO傑克·韋爾奇最值得自我吹噓的管理秘訣就是“活力曲線”，其實質是強製正態分布。
在這個鍾形曲線裏，韋爾奇將業績排在前麵20%的員工劃為A類，中間70%的員工劃為B類，業績排在後麵10%的員工劃為C類。C類是必須裁掉的對象。
韋爾奇以科學的名義進行獎懲，一直以鍾形曲線的法則推行末位淘汰製，從不間歇，所以叫作活力曲線。
這種績效評估的原理，是按照事物“兩頭小、中間大”的正態分布規律，先確定好各等級在被評價員工總數所占的比例，然後按照每個員工績效的優劣程度，強製列入其中的一級。
但問題是，假如低素質員工淘汰完了以後，就要在中等和優良員工裏硬挑一些低素質員工來淘汰了。最極端的情形可能是“將軍裏麵挑瘸子”。就好比滿分是100分，全部成績都在90分以上，也要把90分的那位淘汰下來。
韋爾奇很幸運，他在任的時候GE股票猛漲。但GE的成功，不代表他所有的做法都是對的。當韋爾奇成為明星經理人後，他的辦法得以傳播。強製鍾形曲線管理法，在社會上熱過一陣子後，基本上銷聲匿跡了。
冪率曲線
19世末，“的幽靈，在歐洲徘徊”。
此時，有一位叫帕累托的意大利經濟學家發現，財富分配也是不均的。帕累托被稱作“資本主義的馬克思”，他指出：英格蘭財富的80%，掌握在了20%的人口手裏。許多其他國家和地方也是如此。帕累托由此得出一個結論：財富分配和人口結構之間，存在著一種可以估算的比率。帕累托稱之為“關鍵少數定律”，也就是現在所謂的“二八法則”。
類似帕累托的這種財富曲線，叫作冪律（PowerLaw）曲線。
我們再以圖書銷售為例，把圖書的銷售排名作為橫軸，銷售量作為縱軸，我們就會得到類似下麵這個銷售曲線。
冪律的典型是二八法則，實際上冪律正是從它開始的發現。意大利經濟學家帕累托發現，在財富的分配上存在著冪律分布，即20%的人掌握著80%的社會財富。
有人將這一法則延伸，80%的工作由20%的人完成；或者80%的工作隻產生20%的結果，反之亦然。
“二八法則”也遭遇了驚人的濫用，比如被墨索裏尼拿去，為其法西斯主義作合理化解釋。
分清“中庸先生”與“極端先生”
天氣、豌豆的直徑、身體指標等屬於平均事件，是按照鍾形曲線分布的（姑且稱之為“中庸先生”），所以，就算這輩子你看不到一個身高為5米的家夥，也沒什麽值得稀奇的。
財富數量、圖書銷量、網站訪問量等屬於極端事件，遵從的是所謂的冪律曲線（姑且稱之為“平均先生”）。
比如，屋子裏有100個隨機選取的人，世界上個子最高的人走進去之後，這些人的平均身高並不會發生太大的變化。但如果比爾·蓋茨走了進去，在場所有人的平均財富將會顯著增加。
如果說鍾形曲線是一位性格溫和的“中庸先生”的話，冪率曲線就是一位性格狂野的“極端先生”。
對自然問題，多問問“中庸先生”；對社會問題，尤其是金錢問題，“極端先生”的意見更為靠譜。
“中庸先生”信奉“天之道”，“極端先生”信奉“人之道”。
在“中庸先生”那裏，充滿了金色的平均主義，誰也不會比誰高出多少。
在“極端先生”那裏，一個數字就足以瓦解你所有的平均值，一次虧損就可以抹平你100多年的積累。
我們唯一應記住的是：道可道，非常道。真理隻能證偽，不能證實。麵對這個複雜的世界，沒有任何一個萬能公式，更沒有放之四海而皆準的教條。
鍾形烏托邦
鍾形曲線並非放之四海而皆準，但很多人覺得“鍾形曲線無所不在”。鍾形曲線為何這麽受歡迎？
鍾形曲線的魅力在於它分布得很對稱，很和諧，很中庸，很民主，容易掌握，讓人感覺是溫和又可以預測的。收集了足夠的數據之後，模式就會自動顯現。這符合懶人的胃口，我們不妨把這種理想叫作“鍾形烏托邦”。
理解冪率曲線，可以幫助我們和中庸的鍾形曲線保持距離。但冪率曲線是位“極端先生”，從來就不像鍾形曲線這位“中庸先生”那麽受歡迎。
鍾形曲線是一位溫和的“中庸先生”，冪率曲線是一位狂暴的“極端先生”。
鍾形曲線屬於自然法則，冪率曲線屬於叢林法則。