五、“追趕上前”的話
“講第三段的時候，我曾經說過，倘若你有了一張圖，坐在屋裏，看看表，又看看圖，隨時就可知道你出了門的弟弟離開你已有多遠。這次我就來講關於走路這一類的問題。”馬先生今天這樣開場。
例一：趙阿毛上午八點由家中動身到城裏去，每小時走三裏。上午十一點，他的兒子趙小毛發現他忘了帶應當帶到城裏去的東西，拿著從後麵追去，每小時走五裏，什麽時候可以追上？
這題隻需用第二段講演中的最後一個作基礎便可得出來。用橫線表示路程，每一小段一裏；用縱線表示時間，每兩小段一小時——縱橫線用作單位1的長度，無妨各異，隻要表示得明白。
圖18
因為趙阿毛是上午八點由家中動身的，所以時間就用上午八點作起點，趙阿毛每小時走三裏，他走的行程和時間是“定倍數”的關係，畫出來就是AB線。
趙小毛是上午十一點動身的，他走的行程和時間對於交在C點的縱橫線來說，也隻是“定倍數”的關係，畫出來就是CD線。
AB和CD交於E，就是趙阿毛和趙小毛父子倆在這兒碰上了。
從E點橫看，得下午三點半，這就是解答。
“你們仔細看這個，比上次的有趣味。”趣味！今天馬先生從走進課堂直到現在，都是板著麵孔的，我還以為他有什麽不高興的事，或是身體不適呢！聽到這兩個字，知道他將要說什麽趣話了，精神不禁為之一振。但是仔細看一看圖，依然和上次的各個例題一樣，隻有兩條直線和一個交點，真不知道馬先生說的趣味在哪裏。別人大概也和我一樣，沒有看出什麽特別的趣味，所以整個課堂上，隻有靜默。打破這靜默的，自然隻有馬先生：“看不出嗎？嗐！不是真正的趣味‘橫’生嗎？”
“橫”字說得特別響，同時右手拿著粉筆朝著黑板上的圖橫著一畫。雖是這樣，但我們還是猜不透這個謎。
“大家橫著看！看兩條直線間的距離！”因為馬先生這麽一提示，果然，大家都看那兩條線間的距離。
“看出了什麽？”馬先生靜了一下問。
“越來越短，最後變成了零。”周學敏回答。
“不錯！但這表示什麽意思？”
“兩人越走越近，到後來便碰在一起了。”王有道回答。
“對的，那麽，趙小毛動身的時候，兩人相隔幾裏？”
“九裏。”
“走了一小時呢？”
“七裏。”
“再走一小時呢？”
“五裏。”
“每走一小時，趙小毛趕上趙阿毛幾裏？”
“二裏。”這幾次差不多都是齊聲回答，課堂裏顯得格外熱鬧。
“這二裏從哪裏來的？”
“趙小毛每小時走五裏，趙阿毛每小時隻走三裏，五裏減去三裏，便是二裏。”我搶著回答。
“好！兩人先隔開九裏，趙小毛每小時能夠追上二裏，那麽幾小時可以追上？用什麽算法計算？”馬先生這次向著我問。
“用二去除九得四點五。”我答。
馬先生又問：“最初相隔的九裏怎樣來的呢？”
“趙阿毛每小時走三裏，上午八點動身，走到上午十一點，一共走了三小時，三三得九。”另一個同學這麽回答。
在這以後，馬先生就寫出了下麵的算式：
3裏×3÷（5裏－3裏）＝9裏÷2裏＝4.5小時——趙小毛走的時間
11時＋4.5時－12時＝3.5時——即下午三點半
“從這次起，公式不寫了，讓你們去如法炮製吧。從圖上還可以看出來，趙阿毛和趙小毛碰到的地方，距家是二十二裏半。若是將AE、CE延長，兩線間的距離又越來越長，但AE翻到了CE的上麵。這就表示，若他們父子碰到以後，仍繼續各自前進，趙小毛便走在了趙阿毛前麵，越離越遠。”
試將這個題改成“甲每時行三裏，乙每時行五裏，甲動身後三小時，乙去追他，幾時能追上？”這就更一般了，畫出圖來，當然和前麵的一樣。不過表示時間的數字需換成0、1、2、3……
例二：甲每小時行三裏，動身後三小時，乙去追他，四小時半追上，乙每小時行幾裏？
圖19
對於這個題，表示甲走的行程和時間的線，自然誰都會畫了。就是表示乙走的行程和時間的線，經過了馬先生的指示，以及共同的討論，知道：因為乙是在甲動身後三小時才動身，而得C點。又因為乙追了四小時半趕上甲，這時甲正走到E，而得E點，連結CE，就得所求的線。再看每過一小時，橫線對應增加5，所以知道乙每小時行五裏。這真是馬先生說的趣味橫生了。
不但如此，圖上明明白白地指示出來：甲七小時半走的路程是二十二裏半，乙四小時半走的也正是這麽多，所以很容易使我們想出這題的算法。
3裏×（3＋4.5）÷4.5＝22.5裏÷4.5＝5裏——乙每小時走的
但是馬先生的主要目的不在討論這題的算法上，當我們得到了答案和算法後，他又寫出下麵的例題。
例三：甲每小時行三裏，動身後三小時，乙去追他，追到二十二裏半的地方追上，求乙的速度。
跟著例二來解這個問題，真是十分輕鬆，不必費心思索，就知道應當這樣算：
22.5裏÷（7.5－3）＝22.5裏÷4.5＝5裏——乙每小時走的
原來，圖是大家都懂得畫了，而且一連這三個例題的圖，簡直就是一個，隻是畫的方法或說明不同。甲走了七小時半而比乙多走三小時，乙走了四小時半，而路程是二十二裏半，上麵的計算法，由圖上看來，真是“了如指掌”嗬！我今天才深深地感到對算學有這麽濃厚的興趣！
馬先生在大家算完這題以後發表他的議論：“由這三個例子來看，一個圖可以表示幾個不同的題，隻是著眼點和說明不同。這不是活鮮鮮的，很有趣味嗎？原來例二、例三都是從例一轉化來的，雖然麵孔不同，根源的關係卻沒有兩樣。這類問題的骨幹隻是距離、時間、速度的關係，你們當然已經明白：速度×時間＝距離。由此演化出來，便得：速度＝距離÷時間，時間＝距離÷速度。”
我們說：“趙阿毛的兒子是趙小毛，老婆是趙大嫂子。趙大嫂子的老公是趙阿毛，兒子是趙小毛。趙小毛的媽媽是趙大嫂子，爸爸是趙阿毛。”
這三句話，表麵上看起來自然不一樣，立足點也不同，從文學上說，所給我們的意味、語感也不同，但表出的根本關係隻有一個，畫個圖便是：
照這種情形，將例一先分析一下，我們可以得出下麵各元素以及元素間的關係：
1.甲每小時行三裏。
2.甲先走三小時。
3.甲共走七小時半。
4.甲、乙都共走二十二裏半。
5.乙每小時行五裏。
6.乙共走四小時半。
7.甲每小時所行的裏數（速度）乘以所走的時間，得甲走的距離。
8.乙每小時所行的裏數（速度）乘以所走的時間，得乙走的距離。
9.甲、乙所走的總距離相等。
10.甲、乙每小時所行的裏數相差二。
11.甲、乙所走的小時數相差三。
1到6是這題所含的六個元素。一般地說，隻要知道其中三個，便可將其餘的三個求出來。如例一，知道的是1、5、2，而求得的是6，但由2、6便可得3，由5、6就可得4。例二，知道的是1、2、6，而求得5，由2、6當然可得3，由6、5便得4。例三，知道的是1、2、4，而求得5，由1、4可得3，由5、4可得6。
不過也有例外，如1、3、4，因為4可以由1、3得出來，所以不能成為一個題。2、3、6隻有時間，而且由2、3就可得6，也不能成題。再看4、5、6，由4、5可得6，一樣不能成題。
從六個元素中取出三個來做題目，照理可成二十個。除了上麵所說的不能成題的三個，以及前麵已舉出的三個，還有十四個。這十四個的算法，當然很容易推知，畫出圖來和前三個例子完全一樣。為了便於比較、研究，逐一寫在後麵。
例四：甲每小時行三裏1，走了三小時乙才動身2，他共走了七小時半3被乙趕上，求乙的速度。
3裏×7.5÷（7.5－3）＝5裏——乙每小時所行的裏數
例五：甲每小時行三裏1，先動身，乙每小時行五裏5，從後追他，隻知甲共走了七小時半3，被乙追上，求甲先動身幾小時？
7.5－3裏×7.5÷5裏＝3小時——甲先動身三小時
例六：甲每小時行三裏1，先動身，乙從後麵追他，四小時半6追上，而甲共走了七小時半3，求乙的速度。
3裏×7.5÷4.5＝5裏——乙每小時所行的裏數
例七：甲每小時行三裏1，先動身，乙每小時行五裏5，從後麵追他，走了二十二裏半4追上，求甲先走的時間。
22.5裏÷3裏－22.5裏÷5裏＝7.5－4.5＝3小時——甲先走三小時
例八：甲每小時行三裏1，先動身，乙追四小時半6，共走二十二裏半4追上，求甲先走的時間。
22.5裏÷3－4.5＝7.5－4.5＝3小時——甲先走三小時
例九：甲每小時行三裏1，先動身，乙從後麵追他，每小時行五裏5，四小時半6追上，甲共走了幾小時？
5裏×4.5÷3裏＝22.5裏÷3裏＝7.5小時——甲共走七小時半
例十：甲先走三小時2，乙從後麵追他，在距出發地二十二裏半4的地方追上，而甲共走了七小時半3，求乙的速度。
22.5裏÷（7.5－3）＝22.5裏÷4.5＝5裏——乙每小時所行的裏數
例十一：甲先走三小時2，乙從後麵追他，每小時行五裏5，到甲共走七小時半3時追上，求甲的速度。
5裏×（7.5－3）÷7.5＝22.5裏÷7.5＝3裏——甲每小時所行的裏數
例十二：乙每小時行五裏5，在甲走了三小時的時候2動身追甲，乙共走二十二裏半4追上，求甲的速度。
22.5裏÷（22.5裏÷5裏＋3）＝22.5裏÷7.5＝3裏——甲每小時所行的裏數
例十三：甲先動身三小時2，乙用四小時半6，走二十二裏半路4，追上甲，求甲的速度。
22.5裏÷（3＋4.5）＝22.5裏÷7.5＝3裏——甲每小時所行的裏數
例十四：甲先動身三小時2，乙每小時行五裏5，從後麵追他，走四小時半6追上，求甲的速度。
5裏×4.5÷（3＋4.5）＝22.5裏÷7.5＝3裏——甲每小時所行的裏數
例十五：甲七小時半3走二十二裏半4，乙每小時行五裏5，在甲動身若幹小時後動身，正追上甲，求甲先走的時間。
7.5－22.5裏÷5＝7.5－4.5＝3小時——甲先走三小時
例十六：甲動身後若幹時，乙動身追甲，甲共走七小時半3，乙共走四小時半6，所走的距離為二十二裏半4，求各人的速度。
22.5裏÷7.5＝3裏——甲每小時所行的
22.5裏÷4.5＝5裏——乙每小時所行的
例十七：乙每小時行五裏5，在甲動身若幹時後追他，到追上時，甲共走了七小時半3，乙隻走四小時半6，求甲的速度。
5裏×4.5÷7.5＝22.5裏÷7.5＝3裏——甲每小時所行的
在這十七個題中，第十六題隻是應有的文章，嚴格地說，已不成一個題了。將這些題對照圖來看，比較它們的算法，可以知道：將一個題中的已知元素和所求元素對調而組成一個新題，這兩題的計算法的更改，正有一定法則。大體說來，總是這樣，新題的算法，對於被調的元素來說，正是原題算法的還原，加減互變，乘除也互變。
前麵每一題都隻求一個元素，若將各未知的三元素作一題，實際就成了四十八個。還有，甲每時行三裏，先走三小時，就是先走九裏，這也可用來代替第二元素，而和其他二元素組成若幹題，這樣地推究多麽活潑、有趣！而且對於研究學問實在是一種很好的訓練。
本來無論什麽題，都可以下這麽一番功夫探究的，但前幾次的例子比較簡單，變化也就少一些，所以不曾說到。而舉一反三，正好是一個練習的機會，所以以後也不再這麽不怕麻煩地講了。
把題目這樣推究，學會了一個題的計算法，便可悟到許多關係相同、形式各樣的題的算法，實不隻“舉一反三”，簡直要“聞一以知十”，使我覺得無比快樂！我現在才感到算學不是枯燥的。
馬先生花費許多精力，教給我們探索題目的方法，時間已過去不少，但他還不辭辛苦地繼續講下去。
例十八：甲、乙兩人在東西相隔十四裏的兩地，同時相向動身，甲每小時行二裏，乙每小時行一裏半，兩人幾時在途中相遇？
圖20
這差不多算是我們自己做出來的，馬先生隻告訴了我們，應當注意兩點：第一，甲和乙走的方向相反，所以甲從C向D，乙就從A向B，AC相隔十四裏；第二，因為題上所給的數都不大，圖上的單位應取大一些——都用二小段當一——圖才好看，做算學也需兼顧好看！
由E點橫看得4，自然就是4小時兩人在途中相遇了。
“趣味橫生”，橫向看去，甲、乙兩人每走一小時將近三裏半，就是甲、乙速度的和，所以算法也就得出來了：
14裏÷（2裏＋1.5裏）＝14裏÷3.5裏＝4小時——所求的小時數
這算法，沒有一個人不對，算學真是人人能領受的啊！
馬先生高興地提出下麵的問題，要我們回答算法，當然，這更不是什麽難事！
1.兩人相遇的地方，距東西各幾裏？
2裏×4＝8裏——距東的
1.5裏×4＝6裏——距西的
2.甲到了西地，乙還距東地幾裏？
14裏－1.5裏×（14÷2裏）＝14裏－10.5裏＝3.5裏——乙距東的
下麵的推究，是我和王有道、周學敏依照馬先生的前例做的。
例十九：甲、乙兩人在東西相隔十四裏的兩地，同時相向動身，甲每小時行二裏，走了四小時，兩人在途中相遇，求乙的速度。
（14裏－2裏×4）÷4＝6裏÷4＝1.5裏——乙每小時行的
例二十：甲、乙兩人在東西相隔十四裏的兩地，同時相向動身，乙每小時行一裏半，走了四小時，兩人在途中相遇，求甲的速度。
（14裏－1.5裏×4）÷4＝8裏÷4＝2裏——甲每小時行的
例二十一：甲、乙兩人在東西兩地，同時相向動身，甲每小時行二裏，乙每小時行一裏半，走了四小時，兩人在途中相遇，兩地相隔幾裏？
（2裏＋1.5裏）×4＝3.5裏×4＝14裏——兩地相隔的
這個例題所含的元素隻有四個，所以隻能組成四個形式不同的題，自然比馬先生所講的前一個例子簡單得多。不過，我們能夠這樣窮追不舍，心中確實感到無比愉快！
下麵又是馬先生所提示的例子。
例二十二：從宋莊到毛鎮有二十裏，何畏四小時走到，蘇紹武五小時走到，兩人同時從宋莊動身，走了三時半，相隔幾裏？走了多長時間，相隔三裏？
馬先生說，這個題目的要點，在於正確地指明解法所在。他將表示甲和乙所走的行程、時間的關係的線畫出以後，這樣問：“走了三時半，相隔的裏數，怎樣表示出來？”
“從三時半的那一點畫條橫線和兩直線相交於FH，FH間的距離，三裏半，就是所求的。”
“那麽，幾時相隔三裏呢？"
圖21
由圖上，很清晰地可以看出來：走了三小時，就相隔三裏。但怎樣由畫法求出來，倒使我們呆住了。
馬先生見沒人回答，便說：“你們難道沒有留意過斜方形嗎？”隨即在黑板上畫了一個ABCD斜方形，接著說：“你們看圖（圖22）上AD、BC是平行的，而AB、DC以及AD、BC間的橫線都是平行的，不但平行而且還一樣長。應用這個道理，（圖21）過距O三裏的一點，畫一條線和OB平行，它與OA交於E。在E這點兩線間的距離正好指示三裏，而橫向看去，卻是三小時，這便是解答。”
圖22
至於這題的算法，不用說，很簡單，馬先生大概因此不曾提起，我補在下麵：
（20裏÷4－20裏÷5）×3.5＝3.5裏——走了三時半相隔的
3裏÷（20裏÷4－20裏÷5）＝3小時——相隔三裏所需走的時間
跟著，馬先生所提出的例題更曲折、有趣了。
例二十三：甲每十分鍾走一裏，乙每十分鍾走一裏半。甲動身五十分鍾時，乙從甲出發的地點動身去追甲。乙走到六裏的地方，想起忘帶東西了，馬上回到出發處尋找。花費五十分鍾找到了東西，加快了速度，每十分鍾走二裏去追甲。若甲在乙動身轉回時，休息過三十分鍾，乙在什麽地方追上甲？
“先來討論表示乙所走的行程和時間的線的畫法。”馬先生說，“這有五點：1.出發的時間比甲遲五十分鍾；2.出發後每十分鍾行一裏半；3.走到六裏便回頭，速度沒有變；4.在出發地停了五十分鍾才第二次動身；5.第二次的速度，每十分鍾行二裏。
“依第一點，就時間說，應從五十分鍾的地方畫起，因而得A。從A起依照第二點，每一單位時間——十分鍾——一裏半的定倍數，畫直線到6裏的地方，得AB。依第三點，從B折回，照同樣的定倍數畫線，正好到一百三十分鍾的C，得BC。依第四點，雖然時間一分一分地過去，乙卻沒有離開一步，即五十分鍾都停著不動，所以得CD。依第五點，從D起，每單位時間，以二裏的定倍數，畫直線DF。
“至於表示甲所走的行程和時間的線，卻比較簡單，始終是以一定的速度前進，隻有在乙達到6裏B——正是九十分鍾——甲達到九裏時，他休息了三十分鍾，停著不動，然後繼續前進，因而這條線是GH、IJ。
“兩線相交於E點，從E點往下看得三十裏，就是乙在距出發點三十裏的地點追上甲。”
圖23
“從圖上觀察能夠得出算法來嗎？”馬先生問。
“當然可以的。”沒有人回答，他自己說，接著就講題的計算法。
老實說，這個題從圖上看去，就和乙在D所指的時間，用每十分鍾二裏的速度，從後去追甲一樣。但甲這時已走到K，所以乙需追上的裏數，就是DK所指示的。
倘若知道了GD所表示的時間，那麽除掉甲在HI休息的三十分鍾，便是甲從G到K所走的時間，用它去乘甲的速度，得出來的即是DK所表示的距離。
圖上GA是甲先走的時間，五十分鍾。
AM、MC都是乙以每十分鍾行一裏半的速度，走了六裏所花費的時間，所以都是（6÷1.5）個十分鍾。
CD是乙尋找東西花費的時間——五十分鍾。
因此，GD所表示的時間，也就是乙第二次動身追甲時，甲已經在路上花費的時間，應當是：
GD＝GA＋AM×2＋CD＝50分＋10分×（6÷1.5）×2＋50分＝180分
但甲在這段時間內，休息過三十分鍾，所以，在路上走的時間隻是：
180分－30分＝ 150分
而甲的速度是每十分鍾一裏，因而，DK所表示的距離是：
1裏×（150÷10）＝ 15裏
乙追上甲從第二次動身所用的時間是：
15裏÷（2裏－1裏）＝15——個10分鍾
乙所走的距離是：
2裏×15＝30裏
這題真是曲折，要不是有圖對著看，這個算法，我是很難聽懂的。
馬先生說：“我再用一個例題來作這一課的收場。”
例二十四：甲、乙兩地相隔一萬公尺，每隔五分鍾同時對開一部電車，電車的速度為每分鍾五百公尺。馮立人從甲地乘電車到乙地，在電車中和對麵開來的車兩次相遇，中間隔幾分鍾？又從開車至到乙地之間，和對麵開來的車相遇幾次？
題目寫出後，馬先生和我們作下麵的問答。
“兩地相隔一萬公尺，電車每分鍾行五百公尺，幾分鍾可走一趟？”
“二十分鍾。”
“倘若馮立人所乘的電車是對麵剛開到的，那麽這部車是幾時從乙地開過來的？”
“二十分鍾前。”
“這部車從乙地開出，再回到乙地共需多長時間？”
“四十分鍾。”
“乙地每五分鍾開來一部電車，四十分鍾共開來幾部？”
“八部。”
自然經過這樣一番討論，馬先生將圖畫了出來，還有什麽難懂的呢？
由圖24一眼就可得出，馮立人在電車中，和對麵開來的電車相遇兩次，中間相隔的是兩分半鍾。
而從開車至到乙地，中間和對麵開來的車相遇七次。
算法是這樣：
10000公尺÷500公尺＝20分——走一趟的時間
20分×2＝40分——來回一趟的時間
40分÷5分＝8——一部車自己來回一趟，中間乙所開的車數
20分÷8＝2.5分——和對麵開來的車相遇兩次，中間相隔的時間
8次－1次＝7次——和對麵開來的車相遇的次數
圖24
“這課到此為止，但我還得拖個尾巴，留個題給你們自己去做。”說完，馬先生寫出下麵的題，匆匆地退出課堂，他額上的汗珠已滾到頰上了。
今天足足在課堂上坐了兩個半小時，回到寢室裏，覺得很疲倦，但對於馬先生出的題，不知為什麽，還想繼續探究一番，於是決心獨自試做。總算“有誌者事竟成”，費了二十分鍾，居然成功了。但願經過這次暑假，對於算學能夠找到得心應手的方法！
例二十五：甲、乙兩地相隔三英裏，電車每時行十八英裏，從上午五時起，每十五分鍾，兩地各開車一部。阿土上午5：01從甲地電車站，順著電車軌道步行，於6：05到乙地車站。阿土在路上碰到往來的電車共幾次？第一次是在什麽時間和什麽地點？
答案：
阿土共碰到往來電車八次。
第一次約在上午五時八分半多。
第一次離甲地百分之三十六英裏。
圖25