四、就講和差算罷
例一：大小兩數的和是十七，差是五，求兩數。
馬先生側著身子在黑板上寫了這麽一道題，轉過來對著聽眾，兩眼向大家掃視了一遍。
“周學敏，這道題你會算了嗎？”周學敏也是一個對於學習算學感到困難的學生。
周學敏站起來，回答道：“這和前麵的例子是一樣的。”
圖10
“不錯，是一樣的，你試將圖畫出來看看。”
周學敏很規矩地走上講台，迅速在黑板上將圖畫了出來。
馬先生看了看，問：“得數是多少？”
“大數十一，小數六。”
雖然周學敏得出了這個正確的答案，但他好像不是很滿意，回到座位上，兩眼遲疑地望著馬先生。
馬先生覺察到了，問：“你還放心不下什麽？”
周學敏立刻回答道：“這樣畫法是懂得了，但是這個題的算法還是不明白。”
馬先生點了點頭說：“這個問題，很有意思。不過你們應當知道，這隻是算法的一種，因為它比較具體而且可以依據一定的法則，所以很有價值。由這種方法計算出來以後，再仔細地觀察、推究算術中的計算法，有時便可得出來。”
如圖，OA是兩數的和，OC是兩數的差，CA便是兩數的和減去兩數的差，CF恰是小數，又是CA的一半。因此就本題說，便得出：
OF既是大數，FA又等於CF，若在FA上加上OC，就是圖中的FH，那麽FH也是大數，所以OH是大數的二倍。由此，又可得下麵的算法：
記好了OA是兩數的和，OC是兩數的差，由這計算，還可得出這類題的一般的公式來：
（和＋差）÷2＝大數，大數－差＝小數；
或
（和－差）÷2＝小數，小數＋差＝大數。
例二：大小兩數的和為二十，小數除大數得四，大小兩數各是多少？
圖11
這道題的兩個條件是：（1）兩數的和為二十，這便是和一定的關係；（2）小數除大數得四，換句話說，便是大數是小數的四倍——倍數一定的關係。由（1）得圖中的AB，由（2）得圖中的OD。AB和OD交於E。
由E橫看得16，豎看得4。大數16，小數4，就是所求的解答。
“你們試由圖上觀察，發現本題的計算法，和計算這類題的公式。”馬先生一邊畫圖，一邊說。
大家都睜著雙眼盯著黑板，還算周學敏勇敢：“OA是兩數的和，OF是大數，FA是小數。”
“好！FA是小數。”馬先生好像對周學敏的這個發現感到驚異，“那麽，OA裏一共有幾個小數？”
“5個。”周學敏說。
“5個？從哪裏來的？”馬先生有意地問。
“OF是大數，大數是小數的4倍。FA是小數，OA等於OF加上FA。4加1是5，所以有5個小數。”王有道回答。
“那麽，本題應當怎樣計算？”馬先生問。
“用5去除20得4，是小數；用4去乘4得16，是大數。”我回答。
馬先生靜默了一會兒，提起筆在黑板上一邊寫，一邊說：“要這樣，在理論上才算完全。”
20÷（4＋1）＝4——小數
4×4＝16——大數
接著又問：“公式呢？”
大家差不多一齊說：“和÷（倍數＋1）＝小數，小數×倍數＝大數。”
例三：大小兩數的差是六，大數是小數的三倍，求兩數。
馬先生將題目寫出以後，一聲不響地隨即將圖畫出，問：“大數是多少？”
“9。”大家齊聲回答。
圖12
“小數呢？”
“3。”也是眾人一齊回答。
“在圖上，OA是什麽？”
“兩數的差。”周學敏說。
“OF和AF呢？”
“OF是大數，AF是小數。”我搶著說。
“OA中有幾個小數？”
“3減1個。”王有道表示不甘示弱地爭著回答。
“周學敏，這題的算法怎樣？”
“6÷（3－1）＝6÷2＝3——小數，3×3＝9——大數。”
“李大成，計算這類題的公式呢？”馬先生表示默許以後說。
“差÷（倍數－1）＝小數，小數×倍數＝大數。”
例四：周敏和李成分三十二個銅板，周敏得的比李成得的三倍少八個，各得幾個？
馬先生在黑板上寫完這道題目，板起臉望著我們，大家不禁哄堂大笑，但不久就靜默下來，望著他。
馬先生說：“這回，老文章有點兒難套用了，是不是？第一個條件兩人分三十二個銅板，這是‘和一定的關係’，這條線自然容易畫。第二個條件卻含有倍數和差，困難就在這裏。王有道，表示這第二個條件的線怎樣畫法？”
王有道受窘了，緊緊地閉著雙眼思索，右手的食指不停地在桌上畫來畫去。
馬先生說：“西洋鏡鑿穿了，原是不值錢的。隻要想想昨天講過的三個例子的畫線法，本質上毫無分別。現在無妨先來解決這樣一個問題，‘甲數比乙數的二倍多三’，怎樣用線表示出來？
“在昨天我們講最後三個例子的時候，每圖都是先找出A、B兩點來，再連接它們成一條直線，現在仍舊可以依樣畫葫蘆。
“用橫線表乙數，縱線表甲數。
“甲比乙的二倍多三，若乙是0，甲就是3，因而得A點。若乙是1，甲就是5，因而得B點。
圖13
“現在從AB上的任意一點，比如C，橫看得11，豎看得4，不是正合條件嗎？
“若將表示小數的橫線移到3x，對於3x和3y來說，AB不是正好表示兩數定倍數的關係嗎？
“明白了嗎？”馬先生很莊重地問。
大家隻以沉默表示已經明白。接著，馬先生又問：“那麽，表示‘周敏得的比李成得的三倍少八個’，這條線怎麽畫？周學敏來畫畫看。”大家又笑一陣。周學敏在黑板上畫成下圖：
圖14
“由這圖看來，李成一個錢不得的時候，周敏得多少？”馬先生問。
“8個。”周學敏說。
“李成得1個呢？”
“11個。”有一個同學回答。
“那豈不是文不對題嗎？”這一來大家又呆住了。
畢竟王有道的算學好，他說：“題目上是‘比三倍少八’，不能這樣畫。”
“照你的意見，應當怎麽畫？”馬先生問王有道。
“我不知道怎樣表示‘少’。”王有道說。
“不錯，這一點需要特別注意。現在大家想，李成得三個的時候，周敏得幾個？”
“1個。”
“李成得四個的時候呢？”
“4個。”
“這樣A、B兩點都得出來了，連結AB，對不對？”
“對——！”大家露出有點兒樂得忘形的神氣，拖長了聲音這樣回答，簡直和小學三四年級的學生一般，惹得馬先生也笑了。
“再來變一變戲法，將AB和OY都向相反方向拉長，得交點E。OE是多少？”
“8。”
圖15
“這就是‘少’的表出法，現在歸到本題。”馬先生接著畫出了圖16。
圖16
“各人得多少？”
“周敏二十二個，李成十個。”周學敏回答。
“算法呢？”
“（32＋8）÷（3＋1）＝40÷4＝10——李成得的數。10×3－8＝30－8＝22——周敏得的數。”我說。
“公式是什麽？”
好幾個人回答：“（總數＋少數）÷（倍數＋1）＝小數，小數×倍數－少數＝大數。”
例五：兩數的和是十七，大數的三倍與小數的五倍的和是六十三，求兩數。
“我用這個題來結束這第四段。你們能用畫圖的方法求出答案來嗎？各人都自己算算看。”馬先生寫完了題這麽說。
跟著，沒有一個人不用鉛筆、三角板在方格紙上畫——方格紙是馬先生預先叫大家準備的——這是很奇怪的事，沒有一個人不比平常上課用心。同樣都是學習，為什麽有人被強迫著，反而不免想偷懶；沒有人強迫，比較自由了，倒一齊用心起來。這真是一個謎。
和小學生交語文作業給先生看，期望著先生說一聲“好”，便回到座位上謄正一般，大家先後畫好了拿給馬先生看。這也是奇跡，八九個人全沒有錯，而且畫完的時間相差也不過兩分鍾。這使馬先生感到愉快，從他臉上的表情就可以看出來。不用說，各人的圖，除了線有粗細以外，全是一樣的，簡直好像印板印的一樣。
各人回到座位上坐下來，靜候馬先生講解。他卻不講什麽，突然問王有道：“王有道，這道題用算術的方法怎樣計算？你來給我代課，講給大家聽。”馬先生說完了就走下講台，讓王有道去做臨時先生。
王有道雖然有點兒靦腆，但最終還是拖著腳上了講台，拿著粉筆，硬做起先生來。
“兩數的和是十七，換句話說，就是：大數的一倍與小數的一倍的和是十七，所以用三去乘十七，得出來的便是：大數的三倍與小數的三倍的和。
“題目上第二個條件是大數的三倍與小數的五倍的和是六十三，所以若從六十三裏麵減去三乘十七，剩下來的數裏，隻有‘五減去三’個小數了。”王有道很神氣地說完這幾句話後，便默默地在黑板上寫出下麵的式子，寫完低著頭走下講台。
（63－17×3）÷（5－3）＝12÷2＝6——小數
17－6＝11——大數
圖17
馬先生接著上了講台：“這個算法，你們大概都懂得了吧？我想你們依了前幾個例子的樣兒，一定要問：‘這個算法怎樣從圖上可以觀察得出來呢？’這個問題卻把我難住了。我隻好回答你們，這是沒有法子的。你們已學過了一點兒代數，知道用方程式來解算術中的四則問題。有些題目，也可以由方程式的計算，找出算術上的算法，並且對於那算法加以解釋。但有些題目，要這樣做卻很勉強，而且有些簡直勉強不來。各種方法都有各自的立場，這裏不能和前幾個例子一樣，由圖上找出算術中的計算法，也就因為這個。
“不過，這種方法比較具體而且確定，所以用來解決問題比較便當。由它雖有時不能直接得出算術的計算法來，但一個題已有了答案總比較易於推敲。對於算術方法的思索，這也是一種好處。
“這一課就這樣完結吧。”