二十、話說分數

“分數是什麽？”這是馬先生今天的第一句話。

“是許多個小單位聚合成的數。”周學敏回答。

“你還可以說得明白點兒嗎？”馬先生問。

“好！這也是一種說法，而且是比較實用的。照這種說法，怎樣用線段表示分數呢？”馬先生問。

“和表示整數一樣，不過用表示1的線段的若幹分之1做單位罷了。”王有道這樣回答以後，馬先生叫他在黑板上作出圖80來。其實，這是以前無形中用過的。

圖80

“分數是什麽？還有另外的說法沒有？”馬先生等王有道回到座位坐好以後問。經過好幾分鍾，還是沒有人回答，他又問：“4是多少？”

2

“2！”誰都知道。

“6。”大家一同回答，心裏都好像以為這隻是不成問題的問題。

“0.5。”周學敏回答。

“0.25。”還是周學敏回答的。

“你們回答的這些數，分數的值，怎麽來的？”

“自然是除得來的喲。”依然是周學敏。

“自然！自然！”馬先生說，“就順了這個自然，我說，分數是表示兩個數相除而未除所成的數，可不可以？”

“……”想著，當然是可以的，但沒有一個人回答。大概他們和我一樣，覺得有點兒拿不穩吧，隻好由馬先生自己回答了。

圖81

“一樣的！”我們回答。

“這些分數的值怎樣？”

“再就OB線看，有幾個同值的分數？”

“不錯！這樣看來，表同值分數的點，都在一條直線上。反過來，一條直線上的各點所指示的分數是不是都是同值的呢？”

“……”我想回答一個“是”字，但找不出理由來，最終沒有回答，別人也隻是低著頭想。

“你們試在線上隨便指出一點來試試看。”

“A8。”我說。

“B4。”周學敏說。

“A8指示的分數是什麽？”

B4所指示的分數，依樣畫葫蘆，我們得出：

“由這樣看來，對於前麵的問題，我們可不可以回答一個‘是’字呢？”馬先生鄭重地問。就因為他問得很鄭重，所以沒有人回答。

“我來一個自問自答吧！”馬先生說，“可以，也不可以。”惹得大家哄堂大笑。

“不要笑，真是這樣。實際上，本是如此，所以你回答一個‘是’字，別人絕不能提岀反證來。不過，在理論上，你現在沒有給它一個充分的證明，所以你回答一個‘不可以’，也是你虛心求穩。——我得結束一句，再過一年，你們學完了平麵幾何，就會給它一個證明了。”

用這種方法表示分數，它的效用就此可歎為觀止了嗎？不！還有更濃厚的趣味哩。

第一，是通分，馬先生提出下麵的例題。

圖82

第二，比較分數的大小。

這個結果，圖上顯示得非常清楚，OB線高於OA線，OA線高於OC線，無論這三個分數的分母是否相同，這個事實絕不改變，還用得著通分嗎？

照分數的性質說，分子相同的分數，分母越大的值越小。這一點，圖上顯示得更清楚了。

第三，這是普通算術書上不常見到的，就是求兩個分數間，有一定分母的分數。

圖83

“這還不夠。”王有道發表了意見，“因為題上所要求的，限於14做分母的分數。公分母504是14的36倍，分子必須是36的倍數，才約得成14做分母的分數。”這個意見當然很對，而且也是本題要點之一。依照這個意見，我們找出在196和315中間，36的倍數，隻有216（6倍）、252（7倍）和288（8倍）三個。而：

與前麵所得的結果完全相同，但步驟繁瑣得多。

馬先生還提出一個計算起來比這更繁瑣的題目，但由作圖法解決，真不過是“舉手之勞”。

例三：求分母是10和15中間各整數的分數，分數的值限於在0.6和0.7中間。

圖84

由圖上，一眼就可以看出來，所求的分數隻有下麵五個：

第四，分數怎樣相加減？

“異分母分數的加減法，你們都已知道了吧？”馬先生問。

圖85

“先通分！”周學敏回答。

“為什麽要通分呢？”

“因為把分數看成許多小單位集合成的，單位不同的數，不能相加減。”周學敏加以說明。

“對的！那麽，現在我們怎樣在圖上將這兩個分數相加減呢？”

“OC1和OD1這兩條直線所表示的分數，最左的一個各是什麽？”馬先生問。