十九、韓信點兵
昨天馬先生結束了四則問題以後，叫我們複習關於質數、最大公約數和最小公倍數的問題。晚風習習，我取了一本《開明算術教本》上冊，閱讀關於這些事項的第七章。從前學習它的時候，是否感到困難，印象已模糊了。現在要說“一點兒困難沒有”，我不敢這樣自信。不過，像從前遇見四則問題那樣摸不著頭腦，確實沒有。也許其中的難點，我不曾發覺吧！懷著這樣的心情，今天，到課堂去聽馬先生的講演。
“我叫你們複習的，都複習過了嗎？”馬先生一走上講台就問。
“複習過了！”兩三個人齊聲回答。
“那麽，有什麽問題？”
每個人都是瞪大雙眼，望著馬先生，沒有一個問題提出來。馬先生在這靜默中，看了全體一遍：“學算學的人，大半在這一部分不會感到什麽困難的，你們大概也不會有什麽問題了。”
我不曾發覺什麽困難，照這樣說，自然是由於這部分問題比較容易的緣故。心裏這麽一想，就期待著馬先生的下文。
“既然大家都沒有問題，我且提出一個來問你們：這部分問題，我們也用畫圖來處理它嗎？”
“那似乎可以不必了！”周學敏回答。
“似乎？可以就可以，不必就不必，何必‘似乎’！”馬先生笑著說。
“不必！”周學敏斬釘截鐵地說。
“問題不在‘必’和‘不必’。既然有了這樣一種法門，正可拿它來試試，看變得出什麽花招來，不是也很有趣嗎？”說完，馬先生停了一停，再問，“這一部分所處理的材料是些什麽？”
當然，這是誰也答得上來的，大家搶著說：“找質數。”
“分質因數。”
“求最大公約數和最小公倍數。”
“歸根結底，不過是判定質數和計算倍數與約數——這隻是一種關係的兩麵。12是6、4、3、2的倍數，反過來看，6、4、3、2便是12的約數了。”馬先生這樣結束了大家的話，而掉轉話頭：“閑言少敘，言歸正傳。你們將橫線每一大段當1表示倍數，縱線每一小段當1表示數目，畫表示2的倍數和3的倍數的兩條線。”
這隻是“定倍數”的問題，已沒有一個人不會畫了。馬先生在黑板上也畫了一個——圖75。
圖75
“從這圖上，可以看出些什麽來？”馬先生問。
“2的倍數是2、4、6、8、10、12。”我答。
“3的倍數是3、6、9、12、15、18。”周學敏說。
“還有呢？”
“5、7、11、13、17都是質數。”王有道答道。
“怎麽看出來的？”
這幾個數都是質數，我本是知道的，但從圖上怎麽看出來的，我卻茫然了。馬先生這麽一追問，真是“實獲我心”了。
“OA和OB兩條線都沒有經過它們，所以它們既不是2的倍數，也不是3的倍數……”說到這裏，王有道突然停住了。
“怎樣？”馬先生問道。
“它們總是質數呀！”王有道很不自然地說。這一來大家都已發現，這裏麵一定有了漏洞，王有道大概已明白了。不期然而然地，大家一齊笑了起來。笑，我也是跟著笑的，不過我並未發現這漏洞。
“這沒有什麽可笑的。”馬先生很鄭重地說，“王有道，你回答的時候也有點兒遲疑了，為什麽呢？”
“由圖上看來，它們都不是2和3的倍數，而且我知道它們都是質數，所以我那樣說。但突然想到，25既不是2和3的倍數，也不是質數，便疑惑起來了。”王有道這麽一解釋，我才恍然大悟，漏洞原來在這裏。
馬先生露出很滿意的神氣，接著說：“其實這個判定法，本是對的，不過欠精密一點兒，你是上了圖的當。假如圖還可以畫得詳細些，你就不會這樣說了。”
馬先生叫我們另畫一個較詳細的圖——圖76——將表示2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47 各倍數的線都畫出來。（這裏的圖，右邊截去了一部分。）不用說，這些數都是質數。由圖上，50以內的合數當然可以很清楚地看出來。不過，我有點兒懷疑。——馬先生原來是要我們從圖上找質數，既然把表示質數的倍數的線都畫了出來，還用得找什麽質數呢？
圖76
馬先生還叫我們畫一條表示6的倍數的線，OP。他說：“由這張圖看，當然再不會說，不是2和3的倍數的，便是質數了。你們再用表示6的倍數的一條線OP作標準，仔細看一看。”
經過十多分鍾的觀察，我發現了：“質數都比6的倍數少1。”
“不錯。”馬先生說，“但是應得補充一句——除了2和3。”這確實是我不曾注意到的。
“為什麽5以上的質數都比6的倍數少1呢？”周學敏提出了這樣一個問題。
馬先生叫我們回答，但沒有人答得上來，他說：“這隻是事實問題，不是為什麽的問題。換句話說，便是整數的性質本來如此，沒有原因。”對於這個解釋，大家好像都有點兒莫名其妙，沒有一個人說話。馬先生接著說：“一點兒也不稀罕！你們想一想，隨便一個數，用6去除，結果怎樣呢？”
“有的除得盡，有的除不盡。”周學敏說。
“除得盡的就是6的倍數，當然不是質數。除不盡的呢？”
沒有人回答，我也想得到有的是質數，如23；有的不是質數，如25。馬先生見沒有人回答，便這樣說：“你們想想看，一個數用6去除，若除不盡，它的餘數是什麽？”
“1，例如7。”周學敏說。
“5，例如17。”另一個同學說。
“2，例如14。”又是一個同學。
“4，例如10。”其他兩個同學同時說。
“3，例如21。”我也想到了。
“沒有了。”王有道來一個結束。
“很好！”馬先生說，“用6除剩2的數，有什麽數可把它除盡嗎？”
“2。”我想它用6除剩2，當然是個偶數，可用2除得盡。
“那麽，除了剩4的呢？”
“一樣！”我高興地說。
“除了剩3的呢？”
“3！”周學敏快速地說。
“用6除了剩1或5的呢？”
這我也明白了。5以上的質數既然不能用2和3除得盡，當然也不能用6除得盡。用6去除不是剩1便是剩5，都和6的倍數差1。
不過馬先生又另外提出一個問題：“5以上的質數都比6的倍數差1，掉轉頭來，可不可以這樣說呢？——比6的倍數差1的都是質數？”
“不！”王有道說，“例如25是6的4倍多1，35是6的6倍少1，都不是質數。”
“這就對了！”馬先生說，“所以你剛才用不是2和3的倍數來判定一個數是質數，是不精密的。”
“馬先生！”我的疑問始終不能解釋，趁他沒有說下去，我便問：“由作圖的方法，怎樣可以判定一個數是不是質數呢？”
“剛才畫的線都是表示質數的倍數的，你們會想到，這不能用來判定質數。但是如果從畫圖的過程看，就可明白了。首先畫的是表示2的倍數的線OA，由它，你們可以看出哪些數不是質數？”
“4、6、8……一切偶數。”我答道。
“接著畫表示3的倍數的線OB呢？”
“6、9、12……”一個同學說。
“4既然不是質數，上麵一個是5，第三就畫表示5的倍數的線OC。”這一來又得出它的倍數10、15……再依次上去，6已是合數，所以隻好畫表示7的倍數的線OD。接著，8、9、10都是合數，隻好畫表示11的倍數的線OE。照這樣做下去，把合數漸漸地淘汰了，所畫的線所表示的不全都是質數的倍數嗎？——這個圖，我們無妨叫它質數圖。”
“我還是不明白，用這張質數圖，怎樣判定一個數是否是質數。”我跟著發問。
“這真叫作百尺竿頭，隻差一步了！”馬先生很誠懇地說，“你試舉一個合數與一個質數出來。”
“15與 37。”
“從15橫看過去，有些什麽數的倍數？”
“3的和5的。”
“從37橫著看過去呢？”
“沒有！”我已懂得了。在質數圖上，由一個數橫看過去，若有別的數的倍數，它自然是合數；一個也沒有的時候，它就是質數。不隻這樣，例如15，還可知道它的質因數是3和5。最簡單的，6含的質因數是2和3。馬先生還說，用這個質數圖把一個合數分成質因數，也是容易的。這法則是這樣：
例一：將35分成質因數的積。
由35橫看到D得它的質因數，有一個是7，往下看是5，它已是質數，所以
35＝7×5
本來，若是這圖的右邊沒有截去，7和5都可由圖上直接看岀來的。
例二：將12分成質因數的積。
由12橫看得Q，表示3的4倍。4還是合數，由4橫看得R，表示2的2倍，2已是質數，所以
12＝3×2×2＝3×22
關於質數圖的作法，以及用它來判定一個數是否是質數，用它來將一個合數拆成質因數的積，我們都已明白了。馬先生提出求最大公約數的問題。前麵說過的既然已明了，這自然是迎刃而解的了。
例三：求12、18和24的最大公約數。
圖77
從質數圖上，如圖77，我們可以看出24、18和12都有約數2、3和6。它們都是24、18、12的公約數，而6就是所求的最大公約數。
“假如不用質數圖，怎樣由畫圖法找出這三個數的最大公約數呢？”馬先生問王有道。他一邊思索，一邊用手指在桌上畫來畫去，後來他這樣回答：“把最小一個數以下的質數找出來，再畫出表示這些質數的倍數的線。由這些線上，就可看出各數所含的公共質因數。它們的乘積，就是所求的最大公約數。”
例四：求6、10和15的最小公倍數。
依照前麵各題的解法，本題是再容易不過了。OA、OB、OC相應地表示6、10、15的倍數。A、B和C同在30的一條橫線上，30便是所求的最小公倍數。
圖78
例五：某數，三個三個地數，剩一個；五個五個地數，剩兩個；七個七個地數，也剩一個，求某數。
馬先生寫好了這個題，叫我們討論畫圖的方法。自然，這不是很難，經過一番討論，我們就畫出圖79來。1A、2B、1C各線分別表示3的倍數多1，5的倍數多2，7的倍數多1。而這三條線都經過22的線上，22即是所求的。——馬先生說，這是最小的一個，加上3、5、7的公倍數，都合題。——不是嗎？22正是3的7倍多1，5的4倍多2，7的3倍多1。
圖79
“你們由畫圖的方法，總算把答案求出來了，但是算法是什麽呢？”馬先生這一問，卻把我們難住了。先是有人說是求它們的最小公倍數，這當然不對，3、5、7的最小公倍數是105呀！後來又有人說，從它們的最小公倍數中減去3，除所餘的1。也有人說減去5，除所餘的2，自然都不是。從圖上仔細看去，也毫無結果。最終隻好去求教馬先生了。他見大家都束手無策，便開口道：“這本來是咱們中國的一個老題目，它還有一個別致的名稱——韓信點兵。它的算法，有詩一首：三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝，七子團圓月正半，除百零五便得知。你們懂得這詩的意思嗎？”
“不懂！不懂！”許多人都說。
於是馬先生加以解釋：“這也和‘無邊落木蕭蕭下’的謎一樣。三人同行七十稀，是說3除所得的餘數用70去乘它。五樹梅花廿一枝，是說5除所得的餘數，用21去乘。七子團圓月正半，是說7除所得的餘數用15去乘。除百零五便得知，是說把上麵所得的三個數相加，加得的和若大於105，便把105的倍數減去。因此得出來的，就是最小的一個數。好！你們依照這個方法將本題計算一下。”
下麵就是計算的式子：
奇怪！對是對了，但為什麽呢？周學敏還找了一個題“三三數剩二，五五剩三，七七數剩四”來試：
53正是3的17倍多2，5的10倍多3，7的7倍多4。真奇怪！但是為什麽？對於這個疑問，馬先生說，把上麵的式子改成下麵的形式就明白了。
“這三個式子，可以說是同一個數的三種解釋：（1）表明它是3的倍數多2；（2）表明它是5的倍數多3；（3）表明它是7的倍數多4。這不是正和題目所給的條件相合嗎？”馬先生說完了，王有道似乎已經懂得，但又有點兒懷疑的樣子。他躊躇了一陣，向馬先生提出這麽一個問題：“用70去乘3除所得的餘數，是因為70是5和7的公倍數，又是3的倍數多1。用21去乘5除所得的餘數，是因為21是3和7的公倍數，又是5的倍數多1。用15去乘7除所得的餘數，是因為15是5和3的公倍數，又是7的倍數多1。這些我都明白了。但，這70，21和15怎麽找出來的呢？”
“這個問題，提得很合適！”馬先生說，“這類題的要點，就在這裏。但，這些數的求法，說來話長，你們可以去看開明書店出版的《數學趣味》，裏麵就有一篇專講《韓信點兵》的。——不過，像本題，三個除數都很簡單，70、21、15都容易推出來。5和7的最小公倍數是什麽？”
“35。”一個同學回答。
“3除35，剩多少？”
“2——”另一個同學說道。
“注意！我們所要的是5和7的公倍數，同時又是3的倍數多1的一個數。35當然不是，將2去乘它，得70，既是5和7的公倍數，又是3的倍數多1。至於21和15，情形也相同。不過21已是3和7的公倍數，又是5的倍數多1；15已是5和3的公倍數，又是7的倍數多1，所以用不到再把什麽數都去乘它了。”
最後，他還補充一句：“我提出這個題的原意，是要你們知道，它的形式雖和求最小公倍數的題相同，實質上卻是兩回事，必須要加以注意。”