十一、分工合作
關於計算工作的題目，它對我來說一向是有點兒神秘感的。今天馬先生一寫出這個標題，我便很興奮。
“我們先講原理吧！”馬先生說，“其實，拆穿西洋鏡的原理也很簡單。工作，隻是勞力、時間和效果三項的關聯。費了多少力氣，經過若幹時間，得到什麽效果，所謂工作的問題，不過如此。想透了，和運動的問題毫無兩樣，速度就是所費力氣的表現，時間不用說就是時間，而所走的距離，正是所得到的效果。”
真奇怪！一經說明，我也覺得運動和工作是同一件事了，然而平時為什麽想不到呢？
馬先生繼續說道：“在等速運動中，基本的關係是：距離＝速度×時間。而在均一的工作中——所謂均一的工作，就是經過相同的時間，所做的工相等——基本的關係便是：工作總量＝工作效率×工作時間。現在還是轉到問題上去吧。”
例一：甲四日可完成的事，乙需十日才能完成。若兩人合做，一天可完成多少？幾天可以做完？
不用說，這題的作圖和關於行路的，骨子裏沒有兩樣。我們所躊躇的，就是行路的問題中，距離有數目表示出來，這裏卻沒有，應當怎樣處理呢？但這困難馬上就解決了，馬先生說：“全部工作就算1，無論用多長表示都可以。不過為了易於觀察，無妨用一小段作1，而以甲、乙二人做工的日數4和10的最小公倍數20作為全部工作。試用豎的表示工作，橫的表示日數——兩小段1日——甲、乙各自的工作線怎麽畫？”
到了這一步，我們沒有一個人不會畫了。OA是甲的工作線，OB是乙的工作線。大家畫好後爭著給馬先生看，其實他已知道我們都會畫了，眼睛並不曾看到每個人的畫上，盡管口裏說“對的，對的”。大家回到座位上後，馬先生便問：“那麽，甲、乙每人一日做多少工作？”
圖48
圖上表示得很清楚，1E是四分之一，1F是十分之一。
“甲一天做四分之一，乙一天做十分之一。”差不多是全體同聲回答。“現在就回到題目上來，兩人合做一日，完成多少？”馬先生問。
“二十分之七。”王有道回答。
“怎麽知道的？”馬先生望著他問。
“四分之一加上十分之一，就是二十分之七。”王有道說。
“這是算出來的，不行。”馬先生說。
這可把我們難住了。
馬先生笑著說：“人的事，往往如此，極容易的，常常使人發呆，感到不知所措。——1E是甲一日完成的，1F是乙一日完成的，把1F接在1E上，得D點，1D不就是兩人合做一日所完成的嗎？”
不錯，從D點橫著一看，正是二十分之七。
“那麽，試把OD連起來，並且引長到C，與OA、OB相齊。兩人合做二日完成多少？”馬先生問。
“二十分之十四。”我回答。
“就是十分之七。”周學敏加以修正。
“半斤自然是八兩，現在我們倒不必管這個。”馬先生說得周學敏有點兒難為情了，“幾天可以完成？”
“三天不到。”王有道說。
“為什麽？”馬先生問。
“從C看下來是二又十分之八的樣子。”王有道回答。
“為什麽從C看下來就是呢？周學敏！”馬先生指定他回答。
我倒有點兒替他著急，然而出乎意料，他立刻回答道：“均一的工作，每天完成的工作量是一樣的，所以若幹天完成的工作量和一天完成的工作量，是‘定倍數’的關係。OC線正表示這關係，C點又在表示全工作的橫線上，所以OK便是所求的日數。”
“不錯！講得很透徹！”馬先生非常滿意。
周學敏進步得真快！下課後，因為欽敬他的進步，我便找他一起去散步。邊散步，邊談，沒說幾句話，就談到算學上去了。他說，感覺我這幾天像是個“算學迷”，這樣下去會成“算學瘋子”的。不知道他是不是在和我開玩笑，不過這十幾天，對於算學我深感舍棄不下，卻是真情。我問他，為什麽進步這麽快，他卻不承認有什麽大的進步，我便說：“有好幾次，你回答馬先生的問話，都完全正確，馬先生不是也很滿意嗎？”
“這不過是聽了幾次講以後，我就找出馬先生的法門來了。說來說去，不外乎三種關係：一、和一定；二、差一定；三、倍數一定。所以我就隻從這三點上去想。”周學敏這樣回答。
對於這回答，我非常高興，但不免有點兒慚愧，為什麽同樣聽馬先生講課，我卻不會捉住這法門呢？而且我也有點兒懷疑：“這法門一定靈嗎？”
我便這樣問他，他想了想：“這我不敢說。不過，過去都靈就是了，抽空我們去問問馬先生。”
我真是對數學著迷了，立刻就拉著他一同去。走到馬先生的房裏，他正躺在藤榻上冥想，手裏拿著一把蒲扇，不停地搖，一見我們便笑著問道：“有什麽難題了！是不是？”
我看了周學敏一眼，周學敏說：“聽了先生這十幾節課，覺得說來說去，總是‘和一定’‘差一定’‘倍數一定’，是不是所有的問題都逃不出這三種關係呢？”
馬先生想了想：“就問題的變化上說，自然是如此。”
這話我們不是很明白，他似乎看出來了，接著說：“比如說，兩人年歲的差一定，這是從他們一生下來就可以看出來的。又比如，走的路程和速度是定倍數的關係，這也是從時間的連續中看出來的。所以說就問題的變化上說，逃不出這三種關係。”
“為什麽逃不出？”我大膽地提出疑問，心裏有些忐忑。
“不是為什麽逃不出，是我們不許它逃出。因為我們對於數量的處理，在算學中，隻有加、減、乘、除四種方法。加法產生和，減法產生差，乘、除法產生倍數。”
我們這才明白了。後來又聽馬先生談了些別的問題，我們就出來了。因為這段話是理解算學的基本，所以我補充在這裏。現在回到本題的算法上去，這是沒有經馬先生講解，我們都知道了的。
馬先生提示一個別解法，更是妙：“把工作當成行路一般看待，那麽，這問題便可看成甲從一端動身，乙從另一端動身，兩人幾時相遇一樣。”
當然一樣呀！我們不是可以把全部工作看成一長條，而甲、乙各從一端相向進行工作，如卷布一樣嗎？
圖49
這一來，圖解法和算法更是容易思索了。圖中OA是甲的工作線，CD是乙的，OA和CD交於E。從E看下來仍是二又十分之八多一點。
例二：一水槽裝有進水管和出水管各一支，進水管八點鍾可流滿，出水管十二點鍾可流盡，若兩管同時打開，幾點鍾可流滿？
圖50
這題和例一的不同，就事實上一想便可明白，每點鍾槽裏儲蓄的水量，是兩水管流水量的差。而例一作圖時，將1F接在1E上得D，1D表示甲、乙工作的和。這裏自然要從1E截下1F得1D，表示兩水管流水的差。流水就是水管在工作呀！所以OA是進水管的工作線，OB是出水管的工作線，OC便是它們倆的工作差，而表示定倍數的關係。由C點看下來得二十四點鍾，算法如下：
當然，這題也可以有一個別解。我們可以想象為：出水管距入水管有一定的路程，兩人同時動身，進水管從後麵追出水管，求什麽時候能追上。OA是進水管的工作線，1C是出水管的工作線，它們相交於E，橫看過去正是二十四小時。
圖51
例三：甲、乙二人合做十五日完工，甲一人做二十日完工，乙一人做幾日完工？
“這隻是由例一推衍的玩意兒，你們應當會做了。”結果馬先生指定我畫圖和解釋。
圖52
不過是例一的圖中先有了OA、OC兩條線而求畫OB線，照前例，所取的ED應在1日的縱線上且應等於1F。依ED取1F便可得F點，連OF引長便得OB。在我畫圖的時候，本是照這樣在1日的縱線上取1F的。但馬先生說，那裏太窄了，容易畫錯，因為OA和OC間的縱線距離和同一縱線上OB到橫線的距離總是相等的，所以無妨在其他地方取F。就圖看去，在10這點，向上到OA、OC，相隔正好是五小段。我就從10向上五小段取F，連OF引長到與C、A相齊，豎看下來是60。乙要做六十日才能做完。對於這麽大的答數，我有點兒放心不下，好在馬先生沒有說什麽，我就認為對了。後來計算的結果，確實是要六十日才做完。
本題照別的解法做，那就和這樣的題目相同：
——甲、乙二人由兩地同時動身，相向而行，十五小時在途中相遇，甲走完全路需二十小時，乙走完全路需幾小時？
圖53
先作OA表示甲的工作，再從十五時這點畫縱線和OA交於E點，連DE引長到C，便得六十日。
例四：甲、乙二人合做一工，五日完成三分之一，其餘由乙獨做，十六日完成，甲、乙獨做全工各需幾日？
圖54
“這題難不難？”寫完題，馬先生這樣問。
“難者不會，會者不難。”周學敏很頑皮地回答。
“你是難者，還是會者？”馬先生跟著問周學敏。
“二人合做，五日完成三分之一，五日和工作三分之一的兩條線交於K，連OK引長得OC，這是兩人合做的工作線，所以兩人合做共需十五日。”周學敏回答。
“最後一句是不必要的。”馬先生加以糾正。
“從五日後十六日共是二十一日，二十一日這點的縱線和全工作這點的橫線交於H，連KH便是乙接著獨做十六日的工作線。”
“對的！”馬先生讚賞地說。
“過O作OA和KH平行，這是乙一人獨做全工作的工作線，他二十四日做完。”周學敏說完停住了。
“還有呢？”馬先生催促他。
“在十日這點的縱線上量OC和OA的距離ED，從10這點起量10F等於ED，得F點。連OF並且引長，得OB，這是甲的工作線，他一人獨做需四十日。”周學敏真是有了可驚的進步，他的算學從來不及王有道呀！
馬先生誇獎他說：“周學敏，你已經掌握了解決問題的鎖鑰了。”
這題當然也可用別的解法做，不過和前麵幾題大同小異，所以略去，至於它的算法，那就是：
例五：甲、乙、丙三人合做一工程，八日做完一半。由甲、乙二人繼續，又是八日完成剩餘的五分之三。再由甲一人獨做，十二日完成。甲、乙、丙獨做全工，各需幾日？
馬先生寫完題，王有道隨口說：“越來越複雜。”
馬先生聽了含笑說：“應當說越來越簡單呀！”
大家都不說話，題目明明複雜起來了，馬先生卻說“應當說越來越簡單”，豈非奇事。然而他的解說是：“前麵幾個例題的解法，如果已經徹底明了了，這個題不就隻是照抄老文章便可解決了嗎？有什麽複雜呢？”
這自然是沒錯的，不過抄老文章罷了！
圖55
（1）先依八日做完一半這個條件畫OF，是三人合做八日的工作線，也是三人合做的工作線的方向。
（2）由F起，依八日完成剩餘工作的五分之三這個條件，作FG，這便表示甲、乙二人合做的工作線的“方向”。
（3）由G起，依十二日完成這條件，作GH，這便表示甲一人獨做的工作線的“方向”。
（4）過O作OA平行於GH，得甲一人獨做的工作線，他要六十日才做完。
（5）過O作OE平行於FG，這是甲、乙二人合做的工作線。
（6）在10這點的縱線和OA交於J，和OE交於Ⅰ。照10J的長，由I截下來得K，連OK並且引長得OB，就是乙一人獨做的工作線，他要四十八日完成全工。
（7）在8這點的縱線和甲、乙合做的工作線OE交於L，和三人合作的工作線OF交於F。從8起在這縱線上截8M等於LF的長，得M點。連OM並且引長得OC，便是丙一人獨做的工作線，他四十日就可完成全部工作了。
作圖如此，算法也易於明白。
甲獨做：
乙獨做：
丙獨做：
例六：一工程，甲、乙合做三分之八日完成，乙、丙合做三分之十六日完成，甲、丙合做五分之十六日完成，一人獨做各幾日完成？
圖56
“這倒是真正地越來越複雜，老文章不好直抄了。”馬先生說。
“不管三七二十一，先把每兩人合做的工作線畫出來。”沒有人回答，馬先生接著說。
這自然是抄老文章，OL是甲、乙的工作線，OM是乙、丙的工作線，ON是甲、丙的工作線，馬先生叫王有道在黑板上畫了出來。隨手他將在L點的縱線和ON、OM的交點塗了塗，寫上D和E。
“LD表示什麽？”
“乙、丙的工作差。”王有道回答。
“好，那麽從E在這縱線上截去LD得G， 到G是什麽？”
“乙的工作。”周學敏說。
“所以，連OG並且引長到B，就是乙一人獨做的工作線，他要八天完成。再從G起，截去一個LD得H， 到H是什麽？”
“丙的工作。”我回答。
“連OH，引長到C，OC就是丙獨自一人做的工作線，他完成全工作要十六天。”
“從D起截去H得F，F不用說是甲的工作。連結OF，引長得OA，這是甲一人獨做的工作線。他要幾天才能做完全部工程？”
“四天。”大家很高興地回答。
這題的算法是如此：
甲獨做：
乙獨做：
丙獨做：
馬先生結束這一課說：“這課到此為止。下堂課想把四則問題做一個結束，就是將沒有講到的還常見的題都講個大概。你們也可提出覺得困難的問題來。其實四則問題，這個名詞本不大妥當，全部算術所用的方法除了加、減、乘、除，還有什麽？所以，全部算術的問題都是四則問題。”