十二、歸一法問題

上次馬先生已說過，這次把“四則問題”做一個結束，而且要我們提出覺得困難的問題來。昨天一整個下午，便消磨在搜尋問題上。我約了周學敏一同商量，發現有許多計算法，馬先生都不曾講到，而在已講過的方法中，也還遺漏了我覺得難解的問題，清算起來一共差不多二三十題。不知道怎樣向馬先生提出來，因此躇躊了半夜！

真奇怪！馬先生好像已明白了我的心理，一走上講台，便說：“今天來結束所謂‘四則問題’，先讓你們把想要解決的問題都提出，我們再依次討論下去。”這自然是給我一個提出問題的機會了。因為我想提的問題太多了，所以決定先讓別人開口，然後再補充。結果有的說到歸一法的問題，有的說到全部通過的問題……我所想到的問題已提出了十分之八九，隻剩了十分之一二。

因為問題太多的緣故，這次馬先生花費的時間確實不少。從“歸一法的問題”到“七零八落”，這分節是我自己的意見，為的是便於檢查。

按照我們提出的順序，馬先生從歸一法開始，逐一講下去。

對於歸一法的問題，馬先生提出一個原理。

“這類題，本來隻是比例的問題，但也可以反過來說，比例的問題本不過是四則問題。這是大家都知道的。王老大三十歲，王老五二十歲，我們就說他們兩兄弟年歲的比是三比二或二分之三。其實這和王老大有法幣十元，王老五隻有二元，我們就說王老大的法幣是王老五的五倍一樣。王老大的年歲是王老五的二分之三倍，和王老大同王老五的年歲的比是二分之三，正是半斤和八兩，隻不過容貌不同罷了。”

“那麽，歸一法的問題當中，隻是‘倍數一定’的關係了？”我好像有了一個大發明似的問。自然，這是昨天得到了周學敏和馬先生指示的結果。

“一點兒不錯！既然抓住了這個要點，我們就來解答問題吧！”馬先生說。

例一：工人6名，4日吃1鬥2升米，今有工人10名做工10日，吃多少米？

要點雖已懂得，下手卻仍困難。馬先生寫好了題，要我們畫圖時，大家都茫然了。以前的例題，每個隻含三個量，而且其中一個量總是由其他兩個量依一定的關係產生的，所以是用橫線和縱線各表示一個，從而依它們的關係畫線。而本題有人數、日數、米數三個量，題目看上去容易，卻不知道從何下手，隻好呆呆地望著馬先生了。

馬先生看見大家的呆相，禁不住笑了起來：“從前有個先生給學生批文章，因為這學生是個公子哥兒，批語要好看，但文章做得太壞，他於是隻好批四個字‘六竅皆通’。這個學生非常得意，其他同學見狀，跑去質問先生。他回答說，人是有七竅的呀，六竅皆通，便是‘一竅不通’了。”

這一來惹得大家哄堂大笑，但馬先生反而行若無事地繼續說道：“你們今天卻真是‘六竅皆通’的‘一竅不通’了。既然抓住了要點，還有什麽難呢？”

……仍是沒有人回答。

圖57

“我知道，你們平常慣用橫豎兩條線，每一條表示一種量，現在碰到了三種量，這一竅卻通不過來，是不是？其實拆穿西洋鏡，一點兒不稀罕！題目上雖有三個量，何嚐不可以隻用兩條線，而讓其中一條線來兼差呢？工人數是一個量，米數又是一個量，米是工人吃掉的。至於日數不過表示每人多吃幾餐罷了。這麽一想，比如用橫線兼表人數和日數，每6人一段，取4段不就行了嗎？這一來縱線自然表示米數了。”

“由6人4日得B點，1鬥2升在A點，連AB就得一條線。再由10人10日得D點，過D點畫線平行於AB，交縱線於C。”

“吃多少米？”馬先生畫出了圖問。

“五鬥！”大家高興地爭著回答。

馬先生在圖上6人4日那點的縱線和1鬥2升那點的橫線相交的地方，作了一個E點，又連OE引長到10人10日的縱線，寫上一F，又問：“吃多少米？”

大家都笑了起來，原來一條線也就行了。

至於這題的算法，就是先求出一人一日吃多少米，所以叫作“歸一法”。

例二：6人8日可做完的工事，8人幾日可做完？

算學的困難在這裏，它的趣味也在這點。這題，馬先生仍叫我們畫圖，我們仍是“六竅皆通”！依樣畫葫蘆，6人8日的一條OA線，我們都能找到著落了。但另一條線呢！馬先生！依然是靠著馬先生！他叫我們隨意另畫一條BC橫線——其實用紙上的橫線也行——兩頭和OA在同一縱線上，於是從B起，每8人一段截到C為止，共是6段，便是6天可以做完。

圖58

馬先生說：“這題倒不怪你們做不出，這個隻是一種變通的做法，正規的畫法留到講比例時再說，因為這本是一個反比例的題目，和例一正比例的不同。所以就算法上說，也就顯然相反。”