十、鳥獸同籠問題

一聽到馬先生說：“這次來講鳥獸同籠問題。”我便知道是雞兔同籠這一類了。

例一：雞、兔同一籠共十九個頭，五十二隻腳，求雞、兔各有幾隻？

不用說，這題目包含一個事實條件，雞是兩隻腳，而兔是四隻腳。

圖45

“依頭數說，這是‘和一定’的關係。”馬先生一邊說，一邊畫AB線。

“但若就腳來說，兩隻雞的才等於一隻兔的，這又是‘定倍數’的關係。假設全是兔，兔應當有十三隻；假設全是雞，就應當有二十六隻。由此得CD線，兩線交於E。豎看得七隻兔，橫看得十二隻雞，這就對了。”

七隻兔，二十八隻腳，十二隻雞，二十四隻腳，一共正好五十二隻腳。

馬先生說：“這個想法和通常的算法正好相反，平常都是假設頭數全是兔或雞，是這樣算的：

（4×l9－52）÷（4－2）＝12——雞

（52－2×19）÷（4－2）＝7——兔

“這裏卻假設腳數全是兔或雞而得CD線，但試從下表一看，便沒有什麽想不通了。圖中E點所示的一對數，正是兩表中所共有的。

“就頭說，總數是19——AB線上的各點所表示的：

“就腳說，總數是52——CD線上各點所表示的：

“一般的算法，自然不能由這圖上推想出來，但中國的一種老算法，卻從這圖上看得清清楚楚，那算法是這樣的：將腳數折半，OC所表示的，減去頭數，OA所表示的，便得兔的數目，AC所表示的。”

這類題，馬先生說還可歸到混合比例去算，以後拿這兩種算法來比較，更有趣味，所以不多講。

例二：雞、兔共二十一隻，腳的總數相等，求各有幾隻？

照前例用AB線表示“和一定”總頭數二十一的關係。

因為雞和兔腳的總數相等，不用說，雞的隻數是兔的隻數的二倍了。依“定倍數”的表示法作OC線。

由OC和AB的交點D得知兔是七隻，雞是十四隻。

圖46

例三：小三子替別人買郵票，要買四分和二分的各若幹張，他將數目說反了，二塊八角錢找回二角，原來要買的數目是多少？

“對比例一來看，這道題怎樣？”馬先生問。

圖47

“隻有腳，沒有頭。”王有道很滑稽地說。

“不錯！”馬先生笑著說，“隻能根據腳數表示兩種張數的倍數關係。第一次的線怎麽畫？”

“全買四分的，共七十張；全買二分的，共一百四十張，得AB線。”王有道說。

“第二次的呢？”

“全買四分的，共六十五張；全買二分的，共一百三十張，得CD線。”周學敏說。但是AB、CD沒有交點，大家都呆著臉望著馬先生。

馬先生說：“照幾何上的講法，兩條線平行，它們的交點在無窮遠，這次真是‘差之毫厘，失之千裏’了。小三子把別人的數弄反了，你們卻把小三子的數弄倒了頭了。”他將CD線畫成EF，得交點G。橫看，四分的五十張，豎看二分的四十張，總共恰好二元八角。

馬先生要我們離開了圖來想算法，給我們這樣提示：“假如別人另外給二元六角錢要小三子重新去買，這次他總算沒有弄反。那麽，這人各買到郵票多少張？”

不用說，前一次的差是幺和二，這一次的便是二和幺；前次的差是三和五，這次的便是五和三。這人的兩種郵票的張數便一樣了。

但是總共用了（2.8元＋2.6元）錢，這是周學敏想到的。

每種一張共值（4分＋2分），我提出這個意見。

跟著，算法就明白了。

（2.8元＋2.6元）÷（4分＋2分）＝90——總張數

（4×90－280）÷（4－2）＝40——二分的張數

90－40＝50——四分的張數