你真的會打撲克嗎？——“叫價”的藝術

我們在前麵的研究中多次強調指出，讓博弈中的兩個局中人的策略選擇相等，是零和二人博弈中最簡單的一種方式。在這種博弈中，局中人的策略選擇被稱為純策略。事實上我們不應該用這個名稱，用“著”來表示似乎並沒有顯得太誇張。而且，在上麵已經講到的問題中，它們之間存在的廣闊形式和正規化之間似乎沒有任何明顯的區別。因此，在這些類型的博弈中，我們會將“著”和策略等同起來，而這些原本就屬於正規化的形式特征。但是我們現在將對一個廣闊形式的博弈進行探究，這類博弈中的局中人有若幹個“著”，而且這些“著”能夠更直觀地向正規化的形式和策略進行過渡。

撲克本身具有很多規則，正是這些技術性的規則才避免了賽局中的局中人進行無限次的加叫，保證叫價的次數是有限的。參與撲克博弈的雙方，都會自動避免不現實的叫高價，為了避免對手在叫價的過程中出現超人意料的叫價，所以在每局博弈中，都規定了一個最高叫價的數值。除此之外，還規定不能出現過小的叫價，這種規定保證了博弈順利進行。

在實際進行撲克博弈時，參與賽局中的任意一個人率先叫價，緊接著剩下的局中人進行輪流叫價。在這種博弈過程中，所包含的有利因素和不利因素自身就是一個非常有趣的問題。而且撲克本身是一個比較複雜的博弈，但是為了方便研究叫價和加叫次數的限製，我們將其進行簡化。

撲克自身就具有一種不對稱性，正是受到這種因素的影響，所以希望在研究的過程中不受這種情況的幹擾，這樣便能夠研究出撲克在最簡單的形式下的主要特征。基於此，我們假設參與博弈賽局的兩個局中人，在博弈進行中都會根據自己的選擇開叫，而且他們不知道另一個局中人做何決策，當這兩個局中人分別選擇完自己的叫價後，才讓對方知道自己的叫價結果，簡單說就是讓對手知道自己的叫價究竟是“高”還是“低”。

在此基礎上，我們再對此種撲克博弈進行簡化：假設我們規定參與賽局的每個人都隻有兩種決策權，即“不看牌”和“看牌”。這就意味著，在進行此次博弈時，排除了“加叫”這種決策。簡言之，“加叫”隻是在用一種更加巧妙和激烈的方式來達成局中人的某種意圖，隻是早在其中的一個局中人進行高叫價的時候，便能展現出他的這種意圖。由於我們想要更加直白、明了地看待撲克博弈的問題，所以要盡最大可能避免使用多種意圖來表示此次博弈中的一種意圖。

參照上麵的方式，我們設定下麵這些條件：除了賽局中的參與者不讓對方知道自己的真實意圖外，還要考慮到其中的一個局中人的決策被對方知道的情況。試想，當參與撲克博弈的局中人的叫價同為“高”或者同為“低”時，便需要兩個參與者將自己手上的牌同時攤開，比較它們的大小。這時，某個局中人手上如果握有強牌，那麽他將獲得對方手上的數額；假設雙方手上握有的牌大小相同，那麽便不需要其中的一方進行支付。

除此之外，當其中的一個局中人選擇了“高”的叫價，而另一個人選擇了“低”叫價時，那麽選擇“低”叫價的一方便會有兩種選擇，即選擇“不看牌”或者“看牌”。此時，當“低”叫價的一方選擇“不看牌”時，而且在不考慮到手上的牌的強弱的前提下，便意味著他將付給對方自己低叫價的數值；當“低”叫價的一方選擇“看牌”時，那就意味著他的選擇發生了改變，即由“低”叫價變成了“高”叫價，針對這種情況的處理方式便會和最初都選擇“高”叫價時一樣。

我們再次對撲克的技術性規則進行討論：在撲克博弈中，我們為了避免局中人會沒有限製地加叫，便規定了局中人叫價次數是有限的，這便是終止規則。為了避免不切實際的叫高價發生，因為這對於對手而言將會產生不可預料的後果，所以在博弈賽局中規定了叫價以及加叫的一個上限數值，同時通常情況下，還會規定禁止過小的加叫。因此，我們將會給予叫價和加叫一個限製性的條件，我們在博弈進行前，就設定兩個數目，a和b，而且讓a＞b＞0。

同時，我們還規定博弈中的局中人的每次叫價，即要麽叫價“高”，要麽叫價“低”。在這種情況下，我們將前者定義為a，後者定義為b。叫價高低之間的比值是此次博弈中唯一有聯係，並且會發生變化的因素。

假設在進行撲克博弈的過程中，a與b的比值明顯比1大，那麽這就說明博弈的風險和冒險性極高；相反地，若是a與b的比值僅僅比1大一點，那麽這就意味著此次博弈較為安全。

現在，我們將叫價和加價的次數限製對整個博弈過程進行簡化。實際上，在日常生活中進行撲克遊戲時，其中的一個局中人率先開始叫價，之後局中人開始輪流叫價。

由於在撲克博弈中，其中的一個局中人擁有第一次叫加權，同時他也要第一個做出行動。這時，不僅有有利因素，還有不利因素，這自身就是一個非常有趣的問題。我們已經對撲克不對稱形式進行過討論，而且這個問題占有一定地位。隻是我們在最初研究這個問題時，希望能夠避開這個帶有困擾性的問題。換言之，我們避免在此博弈中研究所有的不對稱情況。由此一來，我們將會得到撲克博弈的最純粹、最簡單的形式下的重要特征。

為此，我們可以在進行撲克博弈前假設，賽局中的每個局中人都擁有自己的開叫，而且每個局中人在博弈中並不知道其他局中人的選擇，當博弈的雙方都做出自己的叫價後，其中一個局中人的選擇才被另一個局中人得知，即讓每個局中人清楚另外一個局中人的選擇，這時才知道對手的叫價究竟是“高”還是“低”。

除此之外，我們還能對此種博弈進行簡化：我們提供給賽局中的局中人兩種選擇，一種是選擇“看牌”，另一種是選擇“不看”。這就意味著，我們在進行此次撲克博弈時，並沒有“加叫”這個選擇。“加叫”在某種程度上隻是局中人巧妙、強烈地表達自己的某種意圖的方式，尤其是在一個高開叫價的博弈局中，更明顯地表達出了這種意圖。我們的研究目的是希望問題能夠變得簡單，所以會盡可能地避開這些用不同方式表達同種意圖的情況。

根據上麵的這些前提條件，我們對此做出下麵的規定：當兩個局中人所做出的選擇被對方得知時，假設兩個人都選擇了“高”的叫價，或者同時選擇了“低”的叫價，此時兩個局中人手上的牌必須攤開，那麽手上擁有較強牌的局中人，將從他的對手那裏獲得a或者b的數額。假設這兩個局中人手上所擁有的牌是相等的，那麽雙方不需要進行支付。

除此之外，還有另外一種情況，當其中的一個局中人選擇了叫“高”價，而另外一個局中人選擇了叫“低”價。這時，選擇了叫“低”價的人擁有兩個選擇，即選擇“不看”或者選擇“看牌”。當另外一個局中人選擇了“不看”之後，在不考慮兩手牌的強弱的情形下，他將支付給對手低價的數額；若他選擇了“看牌”，則表示他的選擇發生了改變——由叫“低”價轉換成了叫“高”價。而對這種情況的處理方式，則與兩個局中人都選擇叫“高”價時一樣。

我們對於上麵提到的簡化版的撲克博弈規則加以總結：參與博弈賽局的每個局中人，能夠通過一個“機會的著”獲得他的一“手”牌；然後，每個局中人可以通過一個“人的著”對a、b進行選擇，簡單說就是選擇叫“高”價還是叫“低”價；最後，賽局中的每個局中人都了解了另外一個局中人的選擇，但是他並不知道他手上的牌，即雙方都知道自己手中的一手牌以及自己的選擇。假設其中的一個局中人在博弈中選擇了叫“高”價，而另外一個局中人的選擇是叫“低”價，那麽後者將會擁有兩種選擇，即“看牌”或者“不看”。

這是一場博弈賽局的過程，當一場賽局結束時，他們的支付方式如何呢？假設兩個局中人同時選擇了叫“高”價，或者一個局中人選擇叫“高”價，而另外一個局中人選擇叫“低”價，並且在後來還選擇了“看牌”，那麽前一個局中人將從後一個局中人那裏獲得三個數額，即a、0、-a；假設兩個局中人都選擇了叫“低”價，那麽前一個局中人將從後一個局中人那裏獲得三個數額，即b、0、-b；假設另外一個局中人選擇了叫“低”價，並且在後來選擇了“不看”，那麽，“人的著”屬於選擇了叫“低”價的人。