二十三、三態之三——求全

圖92

“這是知道了某數的部分，而要求它的整個兒，和前一種正相反。所以它的畫法，不用說，隻是將前一種方法反其道而行了。”馬先生說。

“這樣的辦法，對是對的，不過不便捷。”馬先生批評道。

依照求偏的樣兒，把“倍數”的意義看得廣泛一點，這類題的計算法，正和知道某數的倍數，求某數一般無異，都應當用除法。例如，某數的5倍是105，則：

某數＝105÷5＝21。

本題和前一題可以說完全相同，由它更可看出“知偏求全”與知道倍數求原數一樣。

圖93

“本題的要點是什麽？”馬先生問。

圖94

連DE，作AF平行於DE，F指明某數是18。

計算法是：

圖95

圖96

圖97

至於計算法，更不用說，隻有一個了。

例六：大小兩數的差是4，大數恰是小數的4/3，求兩數。

計算法是這樣：

圖98

圖99

“這題的圖的作法，第一步，可先取一長段OA作1，然後減去它的　，怎樣減法？”馬先生問。

“不錯！第二步呢？”

“對！OC就和OD所表示的16元相等了。你們各自把圖作完吧！”馬先生吩咐。

圖100

自然，這又是老法子：連CD，作BE、AF和它平行。OF所表示的30元，就是原來的存款。由這圖上，還可看出，第一次所取的是10元，第二次是4元。看了圖後計算法自然可以得出：

“這個題，畫圖的話，不是很順暢，你們能把它的順序更改一下嗎？”馬先生問。

“題上說，最後剩的是半桶，由此可見漏去和汲出的也是半桶，先就這半桶來畫圖好了。”王有道回答。

“這個辦法很不錯，雖然看似已把題目改變，實質上卻一樣。”馬先生說，“那麽，作法呢？”

圖101

算法是：

這個題，不過有個小彎子在裏麵，一經馬先生這樣提示：“少剪去3尺，怎樣？”我便明白作法了。

圖102

從講分數的應用問題起，直到前一個例題，我都沒有感到困難，這個題，我卻有點兒應付不了了。馬先生似乎已看破，我們有大半人對著它無從下手，他說：“你們先不要對著題去悶想，還是動手的好。”但是怎樣動手呢？題目所說的，都不曾得出一些關連來。

“不，我問的是圖上的線段。”馬先生說。

“OB。”周學敏沒有回答，我說。

“存入200元後，存的有多少？”

“OC。”我回答。

“那麽，和這存入的200元相當的是什麽？”

“BC。”周學敏搶著說。

“這樣一來，圖會畫了吧？”

圖103

這個作法，已把計算法明明白白地告訴我們了：

對於馬先生的指導，我真要銘感五內了。這個題，在平常，我一定沒有辦法解答，現在遵照馬先生前一題的提示：“先不要對著題悶想，還是動手得好。”動起手來。

至於算法我倒想著無妨別致一點：

圖104

“這個題有點兒麻煩了，是不是？人有四個，條件又囉唆。你們坐了這一陣，也有點兒疲倦了。我來說個故事，給你們解解悶，好不好？”聽到馬先生要說故事，大家的精神都為之一振。

“後來他們一同去請教隔壁的李太公，他向來很公平，他們很佩服。他們把一切情形告訴了李太公。李太公笑眯眯地牽了自己的一頭牛，跟他們去。他說：‘你們分不好，我送你們一頭，再分好了。’

“這叫李太公分牛。”馬先生說完，大家又用笑聲來回應他。他接著說：“你們聽了這個故事，學到點兒什麽沒有？”

“……”沒有人回答。

“你們無妨學學李太公，做個空頭人情，來替趙、錢、孫、李這四家分這筆賬！”原來，他說李太公分牛的故事，是在提示我們，解決這個題，必須虛加些錢進去。這錢怎樣加進去呢？

不過，這麽一來，孫比趙、錢的和又差了30元。好，又加30元去給孫，使他所得的還是等於趙、錢的和。

跟著這一堆說明畫圖已成了很機械的工作。

圖105

在橫線上，取OB1表示490元。B1B2表示添給趙的30元。B2B3表示添給孫的30元。B3B4和B4B5表示添給李的30元和20元。

連A4B5作A1C和它平行，C指135元，是錢所得的。

作A2D平行於A1C，由D減去30元，得E。CE表示60元，是趙所得的。

作A3F平行於A2E，EF表示195元，是孫所得的。

作A4B2平行於A3F，由B2減去30元，正好得指490元的B1。FB1表示100元，是李所得的。

至於計算的方法，由作圖法，已顯示得非常清楚：

這題是一個同學提出來的，其實和例九隻是麵目不同罷了。馬先生雖然也很仔細地給他講解，我隻將圖的作法記在這裏。

連A3B1，作A2B2、A1 B3和AB平行於A3B1。——某人的存款是72元，長子得46元，次子得18元，幼子得8元。

圖106

例十四：弟弟的年紀比哥哥的小3歲，而是哥哥的　，求各人的年紀。

圖107

這題和例六在算理上完全一樣。我隻把圖畫在這裏，並且將算式寫出來。

要點！要點！馬先生寫好了題，就叫我們找它的要點。我仔細揣摩一番，覺得題上所給的是某人4年前和8年後兩個年紀的關係。先從這點下手，自然直接一些。周學敏和我的意見相同，他向馬先生陳述，馬先生也認為對。由這要點，我得出下麵的作圖法。

連A1B2，作AB平行於A1B2。B指的21歲，便是某人8年後的年紀。

這一來，算法自然有了：

圖108

作圖法是這樣：

連A2B，作AB1和它平行。B1指30歲，是弟12年後的年紀。從中減去12歲，得B，就是弟現在的年紀18歲。

圖109

作A1B2平行於A2B。B2指48歲，是兄12年後，又加上10歲的年紀。減去這10歲，得B3，指38歲，是兄12年後的年紀。再減去12歲，得B4，指26歲，是兄現在的年紀——正和弟現在的年紀18歲加上8歲相同，真是巧極了！

算法是這樣：

王有道提出這個題，請求馬先生指示畫圖的方法。馬先生躊躇一下，這樣說：“要用一個簡單的圖，表示出這題中的關係和結果，這是很困難的。因為這個題，本可分成兩段看：前一段是男女學生總人數的關係；後一段隻說各校中男女學生人數的關係。既然不好用一個圖表示，就索性不用圖吧！——現在我們無妨化大事為小事，再化小事為無事。第一步，先解決題目的前一段，兩校的女生共多少人？”

這當然是很容易的：

“男生共多少？”馬先生見我們得出女生的人數以後問。

不用說，這更容易了：

女生所占的分數是：

“4個。”周學敏說。

“好！一共是幾個學生？”

“9個。”周學敏又回答。

到這一步，題目自然比較簡單了，但是算法，我還是想不清楚。

“5！”兩三個人高聲回答。

“就拿這個5去把它們都除一下，結果怎樣？”

“你們再把4去將它們都乘一下看。”

“把這結果和上麵的（2）比較你們應當可以得出計算方法來了。今天費去的時間很久，你們自己去把結果算出來吧！”說完，馬先生帶著疲倦走出了教室。

轉個念頭，我就想到：

若把它們，一個對著一個相減，那就得：

168－162＝6

372人－102人＝270人——甲校的學生數。

這結果，是否可靠，我有點兒不敢判斷，隻好檢查一下：

270人×5/9＝150人——甲校男生，270人×4/9＝120人——甲校女生；

102人×10/17＝60人——乙校男生，102人×7/17＝42人——乙校女生。

150人＋60人＝210人——兩校男生，120人＋42人＝162人——兩校女生。最後的結果，和前麵第一步所得出來的完全一樣，看來我用不到懷疑了！