十六、排方陣

這類題，也是可照題畫圖來實際觀察的。馬先生說為了徹底明白它的要點，各人先畫一個圖來觀察下麵的各項：

（1）外層每邊多少人？（7）

圖65

（2）總數多少人？（7×7）

（3）從外向裏第二層每邊多少人？（5）

（4）從外向裏第三層每邊多少人？（3）

（5）中央多少人？（1）

（6）每相鄰的兩層每邊依次少多少人？（2）“這些就是方陣的秘訣。”馬先生含笑說。

例一：三層中空方陣，外層每邊十一人，共有多少人？

除了上麵的秘訣，馬先生又說：“這正用得著兵書上的話，‘虛者實之，實者虛之’了。”

“先來‘虛者實之’，看共有多少人？”馬先生問。

“十一乘十一，一百二十一人。”周學敏回答。

“好！那麽，再來‘實者虛之’。外麵三層，裏麵剩的頂外層是全方陣的第幾層？”

“第四層。”也是周學敏回答。

“第四層每邊是多少人？”

“第二層少2人，第三層少4人，第四層少6人，是5人。”王有道說。

“計算各層每邊的人數有一般的法則嗎？”

“二層少一個2人，三層少兩個2人，四層少三個2人，所以從外層數起，第某層每邊的人數是：外層每邊的人數－2人×（層數－1）。”

“本題按照實心算，除去外邊的三層，還有多少人？”

“五五二十五。”我回答。

這樣一來，誰都會算了。

11×11－ [11－2×（4－1）]×[11－2×（4－1）]＝121－25＝96

實陣人數 中心方陣人數 實際人數

例二：兵一隊，排成方陣，多49人，若縱橫各加一行，又差38人，原有兵多少？

馬先生首先提出這樣一個問題：“縱橫各加一行，照原來外層每邊的人數說，應當加多少人？”

“兩倍外層的人數。”某君回答。

“你這是空想的，不是實際觀察得來的。”馬先生加以批評。

圖66

對於這批評，某君不服氣，他用鉛筆在紙上畫來看，才明白了“還需加上一個人”。

“本題，每邊加一行共加多少人？”馬先生問。

“原來多的49人加上後來差的38人，共87人。”周學敏回答。

“那麽，原來的方陣外層每邊幾個人？”

“87減去1——角落上的，再折半，得43人。”周學敏說。

馬先生指定我將式子列出，我隻好在黑板上去寫，還好，沒有錯。

[（49＋38－1）÷2]×[（49＋38－1）÷2]＋49＝1898

例三：1296人排成12層的中空方陣，外層每邊有幾人？

圖67

觀察！觀察！馬先生又指導我們觀察了！所要觀察的是，每邊各層都按照外層的人數算，是怎麽一回事！

清清楚楚地，AEFD、BCHG，橫看每排的人數都和外層每邊的人數相同。換句話說，全部的人數，便是層數乘外層每邊的人數。而豎著看，ABJI和CDKL也是一樣。這和本題有什麽關係呢？我想了許久，看了又看，還是覺得莫明其妙！

後來，馬先生才問：“依照這種情形，我們算成總共的人數是四個AEFD的人數行不行？”自然不行，算了兩個AEFD已隻剩兩個EGPM了。所以若要算成四個，必須加上四個AEMI，這是大家討論的結果。至於AEMI的人數，就是層數乘層數。這一來，算法也就明白了。

例四：有兵一隊，正好排成方陣。後來減少十二排，每排正好添上30人，這隊兵是多少人？

圖68

越來越糟，我簡直是墜入迷魂陣了！

馬先生在黑板上畫出這一個圖來，便一句話也不說，隻是靜悄悄地看著我們。自然！這是讓我們自己思索，但是從哪兒下手呢？

看了又看，想了又想，我隻得到了這幾點：

（1）ABCD是原來的人數。

（2）MBEF也是原來的人數。

（3）AMGD是原來十二排的人數。

（4）GCEF也是原來十二排的人數，還可以看成是三十乘“原來每排人數減去十二”的人數。

（5）DGFH的人數是十二乘三十。

完了，我所能想到的，就隻有這幾點，但是它們有什麽關係呢？

無論怎樣我也想不出什麽了！

周學敏還是值得我佩服的，在我百思不得其解的時候，他已算了出來。馬先生就叫他講給我們聽。最初他所講的，原隻是我已想到的五點。接著，他便說明下去。

（6）因為AMGD和GCEF的人數一樣，所以各加上DGFH，人數也是一樣，就是AMFH和DCEH的人數相等。

（7）AMFH的人數是“原來每排人數加30”的12倍，也就是原來每排的人數的12倍加上12乘30人。

（8）DCEH的人數卻是30乘原來每排的人數，也就是原來每排人數的30倍。

（9）由此可見，原來每排人數的30倍與它的12倍相差的是12乘30人。

（10）所以，原來每排人數是30×12÷（30－12），而全部的人數是：

[30×12÷（30 － 12）]×[30×l2÷（30 － 12）]＝ 400

可不是嗎？400人排成方陣，恰好每排20人，一共20排，減少12排，便隻剩8排，而減去的人數一共是240，平均添在8排上，每排正好加30人。為什麽他會轉這麽一個彎兒，我卻不會呢？

我真是又羨慕，又嫉妒啊！