一、第一步

我們來開始講正文吧，先從一個極平常的例說起。

假如，我和你兩個人同乘一列火車去旅行，在車裏非常寂寞，不湊巧我們既不是詩人，不能從那些經過車窗往後飛奔的田野、樹木汲取什麽“煙士披裏純”；我們又不是畫家，能夠在刹那間感受到自然界色相的美。我們隻有枯坐了，會覺得那車子走得很慢，真到不耐煩的時候，也許竟會感到比我們自己步行還慢。但這全是主觀的，就是同樣地以為它走得太慢，我們所感到的慢的程度也不一定相等。我們隻管詛咒車子跑得不快，車子一定不肯甘休，要我們拿出證據來，這一下子有事做了，我們兩個人就來測量它的速度。

你立在車窗前數那鐵路旁邊的電線杆——假定它們每兩根的距離是相等的，而且我們已經知道了時間——我看著我的表。當你看見第一根電線杆的時候，你立刻叫出“1”來，我就注意我表上的秒針在什麽地方。你數到一個數目要停止的時候，又將那數叫出，我再看我表上的秒針指什麽地方。這樣屈指一算，就可以得出這火車的速度。假如得出來的是每分鍾走1公裏，那麽60分鍾，就是1小時，這火車要走60公裏，火車的速度就是每小時60公裏。無論怎樣，我們都不好說它太慢了。同樣地，若是我們知道：一個人12秒鍾可以跑100米，一匹馬30分鍾能跑15公裏，我們也可以將這個人每秒鍾的或這匹馬每小時的速度算出來。

這你覺得很容易，是不是？但你真要做得對，就是說，真要得出那火車或人的精確的速度來，實際卻很難。比如你另換一個方法，先隻注意火車或人從地上的某一點跑到某一點要多長時間，然後用卷尺去量那兩點的距離，再計算他們的速度，就多半不會恰好。火車每小時走60公裏，人每12秒鍾可跑100米。也許火車走60公裏隻要56又3/10分，人跑100米不過11又3/5秒。你隻要有足夠的耐心，盡可以去測幾十次或一百次，你一定可以看出來，沒有幾次的得數是全然相同的。所以速度的測法，說起來簡便，做起來那就不容易了。你測了一百次，說不一定沒有一次是對的。但這一點關係也沒有，即使一百次中有一次是對的，你也沒有法子知道究竟是哪一次。歸根結底，我們不得不穩妥地說，隻能測到“相近”的數。

說到“相近”，也有程度的不同，用的器械——時表、尺子——越精良，“相近”的程度就越高，反過來誤差就越大。用極精密的電子表測量時間，誤差可以小於百分之一秒。我們可以想象，假如將它弄得更精密些，可以使誤差小於千分之一秒，或者還要小些。但無論怎樣小，要使這誤差沒有，卻很難做到！

同樣地，我們對於一切運動的測量，也隻能得相近的數。第一，自然是因為要測運動，總得測那種運動所經過的距離和花費的時間，而這距離和時間的測量就隻能得到相近的數。還不隻這樣，運動本身也是變動的。

假定一列火車由一個速度變到另一個較大的速度，就是變得更快一些，它絕不能突然就由前一個跳到第二個。那麽，在這兩個速度當中，有多少不同的中間速度呢？這個數目，老實說，是無限的呀！而我們的測量方法，卻隻容許我們計算出一個有限的數來。我們計算的時候，時間的單位取得越小，所得的結果自然越和真實的速度相近。但無論用一秒鍾做單位或十分之一秒鍾做單位，在相鄰的兩秒鍾或兩個十分之一秒鍾中，常常總是有無限的中間速度。

能夠確切認知的速度原是抽象的！

這個抽象的速度隻存在於我們的想象中。

這個抽象的速度，我們能夠理會，卻不能從經驗中得到。在一些我們能測量得到的速度中，可以有無限的中間速度存在。既然我們已經知道所測得的速度不精確，為什麽又要用它？這不是在欺騙自己嗎？

為了安撫我們低落的情緒及填補這個缺陷，需要一個理論上的精確的數目和一個容許計算到無限製的相近數的理論。順應這個需要，人們就發現了微積分。

哈哈！微積分的發現是一件很有趣味的事。英國的牛頓（Newton）和德國的萊布尼茨差不多在同一時間發現了微積分，弄得英國人認為微積分是他們的恩賜，德國人也認為這是他們的禮物，各人自負著。其實呢，牛頓是從運動上研究出來的，而萊布尼茨卻是從幾何上出發的，不過殊途同歸罷了。這個原理的發現，真是功德無量，現在數學園地中的大部分建築都用它當台柱，物理園地的飛黃騰達也全倚仗它。這個發現已有兩百年了，它對於我們的科學思想著實有巨大的影響。就是說，假使微積分的原理還沒有發現，現在所謂的文明，一定不是這樣輝煌，這絕不是誇張的話！