開場話

我在中學三年級學物理的時候，曾經碰過一次物理教員的釘子，現在隻要一想到，額上好像都還有餘痛。詳細的情形已不大記得清楚了，大概是這樣的：為了一個什麽公式，我不知道它的來源，便很愚笨地向那位教員追問。起初他很和善，雖然已有點兒不大高興，他說：“你記住好了，怎樣來的，說來你這時也不會懂。”在我那時呆板而幼稚的心裏，無論如何不承認真有“說來不會懂”這麽一回事，仍舊不知趣地這樣請求：“先生，說說看吧！”他真懊惱了，這一點我記得非常清楚。他的臉，發一陣紅又發一陣青，他氣憤憤地，呼吸很急促，手也顫抖了，從桌子上拿起一支粉筆使勁兒地在黑板上寫了這樣幾個字dy/dx（後來我知道這隻是記號，不好單看成幾個字），眼睛瞪著我，幾乎想要將我吞到他的肚子裏才甘心似的。“這你懂嗎？”我嚇得不敢出聲，心裏暗想“真是不懂”。

從那一次起，我已經被嚇得自己隻好承認不懂，然而總也不大甘心，常常想從什麽書上去找dy/dx這幾個奇怪的字看。可惜得很，一直過了三年才遇見它，才算“懂其所懂”地懂了一點。真的，第一次知道它的意義的時候，心裏感到無限的喜悅！

不管怎樣，馬馬虎虎，我總算懂了，然而我的年齡也大起來了，我已經踏進了被人追問的領域了！“代數、幾何，學過了學些什麽呢？”“微積分是怎樣的東西呢？”這類問題，常常被比我年紀小的朋友們問到，我總記起我碰釘子時的苦悶，不忍心讓他們也在我的麵前碰，常常想些似是而非的解說，使他們不全然失望。不過，總覺得這也於心不安，我相信一定可以簡單地說明它們的大意，隻是我不曾仔細地思索過。最近偶然在書店裏看見一本《兩小時的數學》（Deux Heures de Mathématique），書名很奇特，便買了下來。翻讀一會兒，覺得它能夠替我來解答前麵的問題，因此就依據它，寫成這篇東西，算是了卻一樁心願。我常常這樣想，數學和辣椒有些相似，沒有吃過的人，初次吃到，免不了要叫、要哭，但真吃慣了，不吃卻無法生活下去。不隻這樣，就是吃到滿頭大汗，兩眼淚流，身體上固然忍受著很大的痛苦，精神上卻愈加舒暢。話雖如此，這裏卻不是真要把這惡辣的東西硬叫許多人流一通大汗，實在沒有吃辣椒那麽辣。

有一點卻得先聲明，數學的階段是很緊嚴的，隻好一步一步地走上去。要跳，那簡直是妄想，結果隻有跌下來。因此，這裏雖然竭力避去繁重的說明，但也是對於曾經學過初等算術、代數、幾何，而沒有全部忘掉的人說的。因此先來簡單地說幾句關於算術、代數、幾何的話。

算術

無論哪一個人要走進數學的園地裏去遊覽一番，一進門碰到的就是算術。這是因為它比較容易，也比較簡單，所以易於親近的緣故。話雖這樣講，真在數學的園地裏遊個盡興，到後來你碰到的卻又是它了。“整數的理論”就是數學中最難的部分。

你在算術中，經過了加、減、乘、除四道正門，可以看到一座大廳，門上橫著一塊大大的匾，寫的是“整數的性質”五個大字。已經走進這大廳，而且很快地就走了出來，由那裏轉到分數的庭院去，你當然很高興。但是我問你：你在那大廳裏究竟得到了什麽呢？裏麵最重要的不是質數嗎?1、3、5、7、11、13……你都知道它們是質數了吧？然而，這就夠了嗎？隨便給你一個數，比如103，你能夠用比它小的質數一個一個地去除它，除到最後，得數比除數小而且除不盡，你就決定它是質數。這個法子是非常靠得住的，一點兒不會欺騙你。然而它隻是一個小聰明的玩意兒，真要把它正正經經地來用，那就叫你不得不搖頭了。倘若我給你的不是103，而是一個有103位的整數，你還能呆板地照老法子去決定它是不是質數嗎？人壽幾何，一個不湊巧，恐怕你還沒有試到一半，已經天昏地暗了。那麽，有沒有別的法子可以決定一個數是不是質數呢？對不起，真想知道答案，多請一些人到這座大廳裏去轉轉。

在“整數的理論”中，問題很多，得到了其他一部分數學的幫助，也解決過一些，所以算術也是在它的領域內常常增加新的建築和點綴的，不過不及其他部分來得快罷了。

代數

走到代數的殿上，你學會了解一次方程式和二次方程式，這自然是值得高興的事情。算術碰見了要弄得焦頭爛額的四則問題，隻要用一兩個羅馬字母去代替那所求的數，根據題目已說明白的條件，創建一個方程式，就可以死板地照法則求出答數來，真是又輕巧又明白！代數比算術有趣得多、容易得多！但是，這也隻是在那殿裏隨便玩玩就走了出來的說法，若留連在裏麵，又將看出許多困難了。一次、兩次方程式總算會解了，一般的方程式如何解呢？

幾何

幾何的這座院子，裏麵本來是陳列著一些直線和曲線的圖形的，所以，你最開始走進去的時候，立刻會感到特別有趣味，好像它在數學的園地裏，儼然別有天地。自從笛卡爾（Descartes）發現了它和代數的院落的通道，這座院子也就不是孤零零的了，它的內部變得更加充實、富麗。萊布尼茨（Leibnitz）用解析的方法也促進了它的滋長、繁榮。的確，用二元一次方程式y=mx+c表示直線，用二元二次方程式x2+y2=c2和x2/a2+y2/b2=1相應地表示圓和橢圓，實在便利不少。這條路一經發現，來往行人都可通過，並不是隻許進不許出，所以解析數學和幾何就手挽手地互相扶助著向前發展。

還有，這條路發現以後，也不是因為它比較便利，幾何的院子單獨的出路上便懸上一塊“路不通行，遊人止步”的牌。它獨自向前發展，也一樣沒有停息。即如裏曼（Riemann）就是走老路。題著“位置分析”（Analysis Situs），又題著“形學”（Topobogie）的那間亭子，也就是後來新造的。你要想在裏麵看見空間的性質以及幾何的連續的、純粹的性相，隻需用到那“量度”的抽象觀念就夠了。

集合論（Théorie des Ensembles）

在物理學的園地裏麵，有著愛因斯坦（Einstein）的相對論原理的新建築，它所陳列的，是通過靈巧、聰慧的心思和敏銳的洞察力所發明的新定理。像這種性質的寶物，在數學的園地中，也可以找得到嗎？在數學的園地裏，走來走去，能夠見到的都隻是一些老花樣、舊古董，和遊賞一所傾頹的古刹一樣嗎？

不，絕不！那些古老參天的樹幹，那些質樸的、從幾千百年前遺留下來的亭台樓閣，在這園地裏，固然是占重要的地位，極容易映入遊人眼簾。倘使你看到了這些還不滿足，你慢慢地走進去就可以看到古樹林中還有鮮豔的花草，亭樓裏麵更有新奇的裝飾。這些增加了這園地的美感，充實了這園地的生命。由它們就可以知道，數學的園地從開辟到現在，沒有一天停止過墾殖。在其他各種園地裏，可以看見燦爛耀目的新點綴，但常常也可以見到那舊建築傾倒以後殘留的破磚爛瓦。在數學的園地裏，卻隻有欣欣向榮的盛觀。這殘敗的、使人感到淒涼的遺跡，卻非常稀少。它裏麵的一切建築裝飾，都有著很牢固的根底呀！

在數學的園地裏，有一種使人感到不可思議的寶物叫作“無限”（L’infini mathématique）。它常常都是一樣的嗎？它裏麵究竟包含著些什麽，我們能夠說明嗎？它的意義必須確定嗎？

遊到了數學的園地中的一個新的院落，牆門上寫著“集合論”三個字的，那裏麵就可以找到這些問題的答案了。這裏麵是極有趣味的，用一麵大的反射鏡，可以叫你看到這整個園地和幽邃的哲學的花園的關聯以及它倆的通道。三十年來，康托爾（Contor）將超限數（Des nombres transfinis）的意義導出，和那物理的園地中驚奇的新建築同樣重要而且令人驚異！在本文的最後，就要說到它。