第一章 我的思想和語言風格 1

數學思維與直覺思維的區別。數學原理都是清晰可見的，但在日常生活中用不到。因為沒有用之於生活的習慣，所以很少有人把心智調成數學模式。但隻要微調一下，人們就能充分認識到這些數學原理的存在。數學原理是明擺著的，不用不行，應用這些定理進行推導，隻有心智不健全的人才會推理錯誤。

但直覺思維者認為自己所用的原理藏身於日常應用之中，就在人們眼前。你隻須睜開眼睛即可，無須努力。這隻是一個眼光是否敏銳的問題，且眼光必須敏銳起來，因為這種原理都很微妙且數量繁多，以至於人們很難不錯過一些。而漏掉一條就會得出錯誤結論，所以人們必須有敏銳的眼光才能洞察所有此類原理，還要有嚴密的邏輯，不要用這些原理推導出錯誤的結論。

如果數學家的眼光敏銳，就同時會是直覺思維者，因為他們不會根據已知的原理得出錯誤的推論；而如果直覺思維者把目光轉向自己並不使用的數學原理，就會變成數學思維者。

所以，某些直覺思維者之所以不具有數學精神，乃是因為他們沒有把注意力轉向數學原理；而某些數學家之所以不是直覺思維者，乃是因為他們看不到眼前明擺著的東西，而是習慣了精確、簡捷的數學運算，並且隻有在完全掌握了數學定理之後才能進行推理，所以在不允許數學原理起作用、憑直覺思考的事情上就會茫然不知所措。這些東西幾乎是看不見的，隻能感受到，而最大的困難在於，對於沒有親身感知過它們的人來說，沒人能讓他們感知到。此類原理非常微妙且數量繁多，故非敏感且思路清晰的人無法感知，一旦感知了，也不能像在數學上那樣有序地論證它們，無法做出正確和公正的判斷，因為我們不能用數學方式去理解這些原理，那會成為一件無休無止的事。我們必須看一眼就明白，而不是通過一個論證過程（至少在某種程度上可以這麽說）。所以很少有懂直覺思維的數學家，很少有懂數學思維的直覺思維者。數學家總想用數學方法處理直覺問題——從定義出發，套個定理，推導出結論，但這根本不是直覺思維的運行方式，於是數學家們往往顯得很可笑。這並不是說直覺思維並不做推理，它隻是默默地、自然而然地進行，不遵循任何技術性規則，這種推導超乎所有人的理解能力，隻有少數人可以感知到。

另一方麵，直覺思維者習慣了看一眼就下定論，麵對自己毫不理解的命題，麵對推導過程中那些枯燥的定義、定理、推導步驟，他們會震驚、厭惡並有挫敗感。

假如有人既不懂數學思維，也不懂直覺思維，那他肯定是智力上有障礙。

隻要搞透了定義和定理，純粹的數學家的思維就是最精密嚴謹的；如果定義和定理不明，他們推理的結論就不準確，錯得離譜。

概念、論證之類的東西對數學來說至關重要，而純粹的直覺思維者是沒有任何耐心去觸摸的，他們根本看不懂這些，並認為它們超出常規。