第二章 波斯棋盤

世界上沒有一個比數學還要更簡單、更普遍、少錯誤，及更明確的語言，能用來描述自然界中萬物間的永恒關係。數學似乎是一種人類頭腦後天的機能，注定了來彌補人類生命的短促，以及人類感官上的天生缺陷。

約瑟夫·傅裏葉(Jean Fourier)[12]

《熱學解析理論，初步論述》

(Analytic Theory of Heat， Preliminary Discourse，1822年)

1.85×1019粒麥粒

我第一次聽到下麵這個故事時，別人告訴我它發生在古代的波斯。可是，這故事也有可能發生在古代印度或者古代中國。不管怎麽說，都是很久以前發生過的事了。話說這國家的大維齊爾(Grand Vizier，國王的助手，相當於中國古代的宰相)發明了一種新遊戲。玩家按照遊戲規則，在一個畫了64個紅黑交錯的方格平盤上，移動各式小塊物體。最重要的小塊物體代表國王，次重要的代表大維齊爾——這很符合大維齊爾會發明的遊戲。遊戲的目的是把敵方的國王逮住，因此它的波斯名字是shahmat——shah是波斯國王的稱號，mat在波斯文中的意思是死亡。shahmat的意思就是“國王之死”，或簡稱為“王死”。在俄文中，遊戲名還保留了“國王之死”的波斯文原意，叫作“shakhmat”。即使在英文中，這遊戲仍然帶有一些原名的餘響——下棋最後勝利的一步，即把敵方國王逮住的那一步，叫作“將死”(checkmate)。你們一定猜出了，這個遊戲就是西方的國際象棋(chess)。時光流轉，棋子、棋步，及遊戲規則也與時俱進；例如，現代圍棋中已沒有“大維齊爾”這枚棋子——大維齊爾變形成“王後”，同時權力大增。

真是想不通，為什麽一位國王會對“國王之死”的遊戲大感興趣。可是，照這故事的說法，國王顯然龍心大悅，他對大維齊爾說：“你自己說，你要什麽獎賞。你說什麽，我就給什麽。”大維齊爾已經胸有成竹，他告訴國王說，他是謙虛知足的人，隻要一個很樸實的獎賞。他指了指他發明的有8排橫的8排縱的方格棋盤，說他隻要一些麥粒，規則是在第1個方格上放1粒麥子，第2個方格上放2粒麥子，第3個方格上放4粒麥子，以後每經過一個方格，麥粒的數目就加倍，直到所有的方格上都堆滿了麥子。國王用責罵的口吻向這位大維齊爾說，不行，對這樣重要的發明來說，這種獎賞太少了。他要給大維齊爾珠寶、舞伎、華宮。可是大維齊爾低下頭，婉拒了這些獎賞。他隻想要一小堆的麥子。國王心中不禁稱讚起這位大維齊爾，說他的首席顧問是如此謙遜以及克製物欲，於是他立即同意了大維齊爾這個很“謙卑”的要求。

可是，當皇家麥倉長來數麥粒時，國王遭遇了出乎意料的難堪窘境。麥粒的數目開始時很小：1， 2， 4， 8， 16， 32， 64， 128， 256，512， 1024。可是，快到第64個方格時，麥粒的數目大得驚人。事實上，第64個方格上麥粒的數目是1.85×1019粒。也許是因為這位大維齊爾太愛這種高纖維食物，所以才會要這麽多的麥粒。

1.85×1019粒麥粒有多重？如果每顆麥粒的大小是1毫米，那麽所有麥粒的總重量是750億噸，遠超這位國王的麥倉可以儲存的麥粒總量。事實上，750億噸的麥粒相當於全球在150年內的小麥現產量總和。我們始終不知道這故事的結局如何。是這位國王感到自慚，無法履行他的允諾，而把王位禪讓給這位大維齊爾呢，還是這位大維齊爾參加了一種新遊戲——“大維齊爾之死”呢？這我們就不得而知了。

大維齊爾的獎賞

現金價值指數增長(減少)

這個波斯棋盤的故事也許隻是一個傳說。不過古波斯人和古印度人確實都是數學界極為出色的先驅，他們知道當你把數字不斷加倍之後，會得出驚人的數字。如果發明棋盤的人不用8×8的棋盤，而把棋盤加大到10×10的話，照每個棋盤加倍麥粒的算法，第100個棋格上的麥粒總重將和地球一樣。如果有一數字序列(sequence)，每位數字是前一位數字的固定倍數，這個數字序列就叫作幾何級數。數字按幾何級數增值的過程就叫作指數增長(exponential increase)。

不管我們熟不熟悉它，指數經常出現在我們重要的日常生活領域中。複利就是一個絕佳的例子。假設在200年前，或美國獨立戰爭後不久，你的一位祖先在銀行中替你存了10美元，以年息5％計息。以複利計算，累計至今，本息已達10×(1.05)200或172 925.81美元。可是，很少有如此深謀遠慮的祖先會掛念這些後代子孫的福利，何況在當年，10美元也是一筆不小的數目。如果當年那位祖先有辦法拿到6％的年息，你現在就有百萬財產。如果是7％，你就有750萬以上的財富。如果年息是近乎高利貸的10％，現在你已躋身億萬富豪之列，坐擁19億美元了。

這看來很好。不過通貨膨脹也會導致同樣的後果。如果每年的通貨膨脹率是5％，今年的1美元到明年隻值0.95美元，2年後，隻值0.91(0.952)元，10年後隻值0.61美元，而在20年後隻值0.37美元，以此類推。這樣的貶值，對那些不按通貨膨脹率調整，隻領取固定退休年金的退休者而言，的確是個殘酷的現實問題。

如何計算發明棋盤的大維齊爾向國王要求的麥粒總數

不要怕!這項計算真的很簡單。我們現在要計算波斯棋盤上所放麥粒的總數。一個簡潔優雅的計算方法如下：指數告訴我們要把一個數字乘自己幾次，22=2×2=4，24=2×2×2×2=16， 210=1024，等等。第1格上的麥粒是1，第2格是2，第3格是22，第4格是23，第64格是263，如果用S代表棋盤上的所有麥粒的總數，那麽：

S=1+2+22+23+……+262+263

我們把上式乘以2，得到：

2S=2+22+23+……+262+263+264

注意，2S比S多一個264，少一個1。如果用2S的方程減掉S的方程，所有其他項都消掉了，隻剩下兩項，就是我們的答案：

2S-S=S=264-1

這就是正確答案。

如果用我們熟悉的十進製來表達264，是多少呢？當然，可以用計算機來算，不過還有一個更簡單的方法。注意，210=1024，因此210約為1000=103(準確度，24%)， 220=2(10×2)=(210)2≈(103)2=106，約為100萬。因此260=(210)6≈(103)6=1018，所以264=24×260≈16×1018，或16後麵跟了18個0。用計算機算出的正確答案是1.85×1019。

天然障礙阻止指數增長

最常見的指數增長現象是生物界的生殖過程。我們現在來看一下簡單的細菌生殖問題。細菌的生殖方法是二分裂。過了某個時間，1個單細胞細菌就會一分為二，成為2個第二代細胞。再過一段時間，這兩個第二代細胞又會各自一分為二，產生4個細胞。隻要有充分的食物，且環境中無毒素，這一細胞群的數目將以指數方式增殖。若環境適宜，細菌可能每15分鍾就繁殖1次，1小時內就繁殖4次，一天繁殖96次。雖然每個單細胞細菌的重量隻有一萬億分之一克，經過一天的無限製無性生殖後，細胞群的全部重量相當於一座山；一天半後，其總重將為半個地球；兩天後，其總重將超過太陽，要不了多少時間，全宇宙中都將彌漫這種細菌。這後果當然是不堪設想的。很幸運的是，這個假想的後果永不會發生。為什麽？因為像這樣的指數增長總會遇到一些天然的障礙。這些小生物不久就沒食物可吃了；或者它們消化食物後排泄出的廢料成為毒死自己的毒素；或因為空間太擁擠了，沒有隱私，它們開始對生殖感到害羞；等等。指數增長不可能無窮無盡地進行下去，因為不久就會粍盡所有資源。而早在把資源耗盡之前，可能已經遇到一些阻礙指數增長的因素了。因此，指數增長的曲線將趨於平緩(見圖示)。

細菌增殖數變化曲線

這種阻止指數增長的特性對於預防艾滋病的流行蔓延十分重要。現在，許多國家的艾滋病感染人數以指數方式激增。目前，每年感染艾滋病的人數加倍成長。如果長此以往，後果將不堪設想。10年內，感染人數將為目前的1000倍；20年後，是100萬倍。可是，如果真達到100萬倍的話，艾滋病感染人口將超過現在全球人口的總數。如果每年的艾滋病人數持續倍增，且沒有任何天然的障礙，也沒有治愈艾滋病的新藥研發出來(目前真的沒有)，那麽按此推測，全球人口都將在短期內死於艾滋病。

可是，有些人對艾滋病天生就有免疫能力。而且，按照美國公共衛生署傳染病中心(Communicable Disease Center of the U. S. Public Health Service)的調查及研究，美國感染艾滋病的人數每年確實在加倍增長，而且初期罹患艾滋病的病人，幾乎隻限於某些易受感染的高危險族群，例如男同性戀者、血友病患者(hemophiliacs)，或使用注射式毒品的癮君子。如果艾滋病真的無藥可醫，則那些交換針頭、使用注射式毒品的癮君子大部分都會死亡——不是全部，因為有極少數的人，天生就對艾滋病免疫，可是其他患者幾乎都將難逃一死。同樣，那些經常交換性伴侶，而又不采取安全性措施的男同性戀者，都將死於艾滋病。例外的是能安全地使用保險套，或長期保持單一同性伴侶的男同性戀者，以及一些天生對艾滋病免疫者。自20世紀80年代初以來(艾滋病自20世紀80年代才開始出現)，始終維持長期單一夫妻關係者，或那些具有高度警戒性，且采行安全性措施者，以及不和其他人交換針頭的毒品使用者——有許多這種人——基本上都是和艾滋病病源絕緣的。

在人口統計學上，一旦這幾類高危險族群的總感染人數的增值曲線趨於平緩(即感染人數不再以指數方式增值後)，其他族群的人——在目前的美國，似乎是年輕的異性戀者(heterosexuals)——就會取而代之。他們對**的狂熱幾乎淹沒了他們的理智，常放棄安全的性措施來取樂。他們未來多會死於艾滋病，可是總有些幸運的免疫者或有節製的人可免於一死。等到這一波感染過去後，下一波高危險群體又會出現——也許是下一代的男同性戀者。最後，當大多數高危險族群成員都相繼死於艾滋病後，這些以指數曲線激增的總感染人數的曲線將變得平坦，不再以指數增加。因此，死於艾滋病的人數將會遠少於全球總人口數(對死於艾滋病及深愛這些死者的人來說，這種安全保證並不會減輕他們心中的悲慟)。

全球人口指數增長

指數式的增值也是世界人口增加危機的核心問題。自人類出現在地球上以來，世界人口總數一直相當穩定，每年出生人口與死亡人口的數目幾乎相同。我們稱此情形為“穩定態”(steady state)。在人類發明農業後——包括種植和收獲小麥，就是那位古代波斯大維齊爾渴望要的那種穀類——地球的人口開始增加，並進入指數增值時代，遠離穩定態。目前，人口倍增的時間大約是40年，即每隔40年，人類的數目就要增加1倍。就如1798年，一位英國牧師托馬斯·馬爾薩斯(Thomas Malthu)所言，人口以指數增值時——馬爾薩斯稱之為幾何級數增值——其糧食需求會超出所有能想象到的糧食增產供應量。沒有任何的綠色革命[13]、水植法[14]、化沙漠為良田的方法，能夠滿足以指數增值的人口需求。

也沒有地球外的解決方法(extraterrestrial solution)，即把地球人送到外星去[15]。現在，每天出生的嬰兒數比同日的死亡人數多出24萬。我們目前的科技水平距離每天傳送24萬人到地球以外的太空還很遠呢!載送人類移民至繞地球軌道上的太空站，或移居月球，或其他星球，對解決地球人口增加的問題幫助十分有限。即使我們發明了能以超光速移民銀河係的科技，也無濟於事。若維持目前的人口增長率不變，1000年內，所有銀河係中可居住的行星將人滿為患，除非我們能夠控製世界人口的增長。因此，千萬不要低估指數增長的能力。

世界人口增長曲線

上圖顯示的是隨時間變動的世界人口增長曲線。很明顯，我們正處在一個以指數增長的疾速上升階段。許多國家——例如美國、俄羅斯、中國——已經到達，或許不久就會到達人口增長停止的狀態，這表示離穩定態已不遠了。這種狀態叫作零人口增長態(zero population growth，ZPG)。但是由於指數增長的威力實在太大了，隻要世界人口中有少數的社區或國家人口繼續以指數增加，世界人口問題依然不會改變——即使許多國家已經處於零人口增長的穩定態。

協力推進人口轉變

許多論述周詳的文獻指出，在世界各處，高生殖率和貧困之間具有相關性。不論大國或小國、資本主義或社會主義國家、天主教或伊斯蘭教國家、西方國家或東方國家——幾乎在所有國家，一旦貧困消失，人口就不再以指數增長或者會增長減緩。我們稱此現象為“人口轉變”(demographic transition)[16]。從人類長期利益角度來看，這種人口轉變一定會在世界上任何一個角落實現。這就是為什麽所有的大國都應當幫助其他國家達到經濟自足：這麽做不僅基於人道主義，而且對富有國家來說，這樣的援助既利人也利己。世界人口危機的核心問題之一就是貧困。

可是有些國家不符上述的人口轉變，這些例外現象十分有趣。有些國家雖有較高的平均個人所得，可是出生率仍然居高不下。在這些國家，人們不知道如何避孕，也幾乎找不到避孕的用具。也許這和這些國家的婦女缺乏政治力量有關。我們不難理解二者間的關聯。

目前世界的人口已經有60億了。40年後，如果這種人口加倍增長的速度不變，全球人口就會增加到120億；80年後，240億；120年後，480億。沒有幾個人認為我們的地球資源可以維持這麽多人的生計。從經濟麵來看，鑒於指數增長的威力，現在處理全球的貧困問題要比數十年後再用任何妙計來解決指數增長問題少花許多錢。我們的任務就是使世界各地都能實現這種人口轉變，讓目前以指數方式上升的總人口曲線變得平緩——消除難挨的貧困，使可靠、安全的避孕方法和用具傳播到世界上每一個角落，同時，賦予婦女真正的政治力量(在行政、立法、執法、軍事各方麵，以及能影響大眾意見的機構方麵)。如果我們在這方麵失敗了，其他的自然過程就會替我們解決世界的人口問題，屆時我們一點控製力量都沒有了。

核裂變

核裂變的原理是在1933年9月，由一位來自匈牙利的移民物理學家利奧·西拉德(Leo Szilard)在倫敦想出的。當時他在想，人類如何能應用那些隱藏在原子核中的巨大能量。他問自己：如果把中子打進原子核，會有什麽後果？[17]當他站在倫敦的南安普敦大道(Southhampton Row)上等待交通信號燈從紅轉綠時，靈光乍現，他想，自然界中必定有一種物質，一種化學元素，如果把一個中子打進該物質的原子核，該原子核會釋放出兩個中子，而每個放出的中子，又可以引導其他原子核放出兩個中子。於是，西拉德的腦海中立刻浮現出鏈式核反應的景象：以指數增長的中子不斷地把這些原子核左一個右一個地摧毀。當夜，在他下榻的斯特蘭德宮酒店(Strand Palace)的一間小房間中，西拉德做了一個簡單的計算。計算的結果是，如果中子產生的鏈式核反應控製得宜，僅數磅重的物質所釋放出的能量便足以供一座小城用上一年之久……反之，控製不當，就會發生足以把一座城市完全摧毀的爆炸。

西拉德最後輾轉到了美國，他開始係統地在所有的化學元素中尋覓吸收中子後可以釋放出更多中子的元素。他發現鈾元素似乎很有希望。西拉德說服大科學家愛因斯坦寫了一封現在極具曆史價值的信函給當時的美國總統羅斯福，力勸美國開始製造原子彈(又稱核彈)。[18]第一個核反應堆於1942年在美國芝加哥調試的時候，西拉德扮演了重要的角色。這個核反應堆的成功促成了後來原子彈製造的成功。可是，西拉德的餘生致力於向世界提出警告，這個他首先想出的、威力強大的武器是危險的。因此從某方麵來說，他也發現了指數增長的可怕威力。

人人都是親戚

每個人都有雙親，4位祖父母，8位曾祖父母，16位曾曾祖父母等。每向前追溯一代，直係祖先就增加1倍。你可以看出，這種追溯的形式很像我們在本章開頭提到的波斯棋盤故事。如果一代以25年計算，那麽，在64代以前，或64×25 = 1600年前，或者在羅馬帝國剛衰敗之前，即公元400年左右的時候，每個人的直係祖先數目高達1.85×1019，這還沒算和祖先們同輩的親戚呢!從數學上看來是如此巨大，可是，這數目遠遠超出全世界現有的人口數，甚至比有史以來的總人口數都還要多。因此，我們的計算方法一定有誤。錯在哪裏？錯誤在於，我們假設我們的直係祖先都是不同的人。可是事實上，這個假設是不對的。同一位祖先可以通過許多不同的途徑和我們存在血統上的關聯。我們不斷地通過不同的途徑重複計算與我們有血緣關係的親戚——祖代越遠，重複得越多。

對全人類來說，我們也可以計算這種血緣關係。如果我們追溯的祖先代夠遠，世界上任何兩個人都可能在某時有共同的祖先。每當選出一位新的美國總統時，一定會有某人——通常在英國——發現，這位新總統和某時代的王後或國王有血緣關係。這種關聯往往用來加強英語係人民之間的團結。如果兩個人是來自同一國家，或者同一文化，或同一個世界上的小角落，而他們又有記錄詳細的家譜的話，很可能就會發現他們有共同的祖先。不過無論有沒有記錄，可以確定的是，血緣關係一定存在。因此我們可以說，在全人類之間，即世界上的任何兩個人之間都有表親關係。

半衰期

另一個經常聽到的與指數有關的概念就是“半衰期”(half-life)，放射性元素——例如鐠(plutonium)或鐳(radium)——會衰變成一種比較穩定的“子”元素。這種衰變不是一次完成的，而是按統計方式進行的。經過一段時間後，一半的原子核衰變了，而另一半則沒有。這個時間就叫作半衰期。再過一個半衰期的時間，剩下的原子核中又有一半衰變了，剩下來的一半則沒有，以此類推。具體來說：如果半衰期是1年，那麽在第1年一半的原子核會衰變，在第2年剩下來的原子核的一半會衰變，未衰變的原子核隻有四分之一了，再過1年，未衰變的原子核隻有八分之一，10年後，原來的未衰變的原子核則隻剩下原有的千分之一，以此類推。不同的化學元素有不同的半衰期。在處理核反應堆的輻射性很高的廢料時，或者在計算核戰爭所產生的原子核塵埃時，半衰期的概念是極為重要的。它代表的是指數衰減——指數衰減和以波斯棋盤為例的指數增長類同，一個以指數增長，一個以指數減少。

測定放射性元素的衰變是考古學中鑒定古代時間的主要方法。如果我們可以測量出一個樣品中源放射性化學元素，及其“子”元素的成分，就可以確定樣品的存在時間。用這一方法，我們發現被天主教視為耶穌聖物的都靈裹屍布(Shroud of Turin)[19]，實際上是在14世紀製作的偽品(事實上，當時的天主教會就力斥此裹屍布為偽品)；在數百萬年前，人類的祖先就會用火；最古老的生物化石年齡超過35億年；地球的年齡是46億年；宇宙的年齡又要比地球大上數十億年。如果你了解指數的奧妙，你就掌握了了解許多宇宙奧秘的關鍵。

如果你對一件事不求甚解，那你就隻知其大概而不知其詳。如果你開始對此事物有定量的了解——有些數值上的認知，而不是自千萬種的可能中胡亂猜測——你就開始對它有深入的了解了。你開始了解這事物的美妙，你開始知道它的威力，理解它的規則。對數字懷有恐懼，就等於剝奪了你自己的權利：放棄了理解以及改造世界的最強而有力的工具。