第一部分 量化的力與美
第一章 億億萬萬
有些人……認為沙粒的總數是無窮大的……也有人不作如是想，但也認為，目前還沒有一個大到可以計量這總數的數字……而我要嚐試給你們看些數字，它們不但可以計量把整個地球都裝滿的沙粒總數，還能計量把整個宇宙都裝滿的沙粒總數。
阿基米德(Archimedes)
《數沙者》(The Sand-Reckoner)
始作俑者約翰尼·卡森[1]
老實說，我從未說過“億億萬萬”(billions and billions)。噢，我隻說過可能有1000億(100 billion)個星係及100億兆(10 billion trillion)顆恒星。談起宇宙，很難不用很大的數字。在廣受大眾喜愛的收視率很高的電視係列節目《宇宙》(Cosmos)中，我是說了很多次“10億”(billion)。可是我從未說過“億億萬萬”。我不說的原因之一是：這字眼太不精確了。“億億萬萬”中有多少個“億”？數十億？200億？1000億？“億億萬萬”太籠統了。後來我們重新整理這檔節目，加入更新材料時，我再三核驗過——真的，我從未說過。
可是約翰尼·卡森(Johnny Carson)說過，在他主持的《今夜秀》(Tonight Show)中說的，我前前後後上過30來次節目。他穿著一件燈芯絨上衣，一件翻領套頭衫，戴一頂好像是粗棉絮拖把做的假發。他這種粗略的模仿，看上去就像是我的一種分身。他以這副樣子出現在深夜的電視熒幕上，不時地念叨“億億萬萬”。每次他以這種裝扮主持《今夜秀》的第二天，我的同事都會來向我報告。起初，我對這種針對我個人的搞笑偽裝有些反感(盡管是這副打扮，約翰尼·卡森——一位相當認真的業餘天文愛好者——在模仿我的時候也講真科學)。
《今夜秀》拍攝現場的卡爾·薩根(左)與約翰尼·卡森(攝於1980年5月30日)
令人驚訝的是，“億億萬萬”這個詞居然流行了起來。人們喜歡它的聲調和意思。一直到最近，無論是在大街上、飛機上，甚至在社交晚會中，常常有人把我叫住，並用有點不好意思的神情輕聲地問我，能不能說一遍“億億萬萬”給他們聽——隻說給他們聽。
“你知道，其實我並沒有說過。”我告訴他們。
“不要緊，”他們回答，“就說說吧。”
有人告訴我，福爾摩斯從未說過“我親愛的華生，這太簡單了”。(至少在亞瑟·柯南·道爾的原著中沒有說過)[2]著名反派電影明星詹姆斯·卡格尼(James Cagney)從未說過“你這隻肮髒的老鼠”。[3]大明星亨弗萊·鮑嘉(Humphrey Bogart)也從未說過“山姆，再彈一次吧”。[4]可是，他們不如就承認說過算了，因為這些偽語已經在不知不覺中深深地嵌入當下流行的文化中了，弄得大家真假不辨。
一些計算機雜誌還不斷提到，我說過這個愚蠢的詞語(譬如：有雜誌寫過，“卡爾·薩根會在這種場合下說，要用到‘億億萬萬’個字節。”)報上關於經濟的報道，或討論職業運動員的薪金，或其他類似的情形下，也不斷地引用這個詞語。有一陣子，我的反應是一種孩子氣的慍怒，我絕不說或寫出這個詞語。即使有人請我說我也不說。可是，現在我已經不在乎了。因此，作為我說過的證明，你們仔細聽著：
“億億萬萬。”
大數進化：從百萬、十億到千億
為什麽“億億萬萬”會如此流行？以前，英語中用“百萬”(million)來形容一個很大的數字。極富有的人被稱為百萬富翁(millionaires)。在耶穌基督的年代，全世界的人口隻有2.5億(250 million)。1787年，美國開立憲大會的時候，全美人口有近400萬(4 million)人。第二次世界大戰開始時，美國人口則有1.32億(132 million)人。地球到太陽的距離是1.5億(150 million)千米。第一次世界大戰的死亡人數約4000萬(40 million)人，第二次世界大戰的死亡人數約6000萬(60 million)人。一年最多有3170萬(31.7 million)秒。20世紀80年代末，全球核武器的爆炸威力可以毀滅100萬(1 million)個廣島大小的城市。很長的一段時間，任何要用到大數的場合，“百萬”都是足夠大的數字。
可是，時代不同了。現在世界上有一大堆的十億富翁(billionaires)——這不全然是通貨膨脹之故。科學家們估算出地球的年齡為46億(4.6 billion)年。全球的總人口正衝向60億(6 billion)[5]。在你的兩個生日之間，地球又繞了太陽一圈——10億(1 billion)千米(地球繞太陽運行的速度比旅行者號[6]離開地球的速度要快很多)。4架B-2轟炸機(最新式的隱形轟炸機)的總價是10億(1 billion，也有人說需要20億，甚至是40億)美元。如果把所有隱藏在其他預算中的國防金額都算上，美國每年的國防總預算將超過3000億(300 billion)美元。萬一美國和俄羅斯真的打起核戰，直接死亡的總人數將達到10億(1 billion)人。而10億(1 billion)個原子接排起來，總長隻有10厘米左右。當然，還有數十億(billions)的恒星和星係遍布於宇宙中。
1980年，當《宇宙》播出時，人們的心理已經準備好接受“十億”這個詞了。說“百萬”已稍嫌寒酸、老式，好像很吝嗇似的。實際上，這兩個詞的英文發音幾乎一樣，很容易混淆，要仔細聽才能分辨出來[7]。因此，當我出演《宇宙》時，在發“十億”的音時，我特別強調了“b”這個破裂音。有些人聽了節目中的發音，還以為我有發音上的缺陷，或是我個人特別的腔調。可是，若不強調“b”這個音又不想引起誤會，那就要用電視播音員的說法：“這是b開頭的‘十億’。”這聽上去多拗口。
有一則流傳很久的老笑話。在一個星象館中，一位講解天文的先生告訴聽眾說，再過50億年，太陽會膨脹成一顆巨大的紅巨星，吞噬水星及金星，甚至可能把地球也吞進它的大氣中。先生講完後，一名很焦急的聽眾拖住他問道：
“對不起，博士，你是說太陽在50億年後會燒毀地球？”
“是的，大概就是這數字前後。”
“真要感謝上帝，有一陣子我還以為你說的是500萬年呢!”
其實，不管是50億年或是500萬年，對我們個人的生命來說，都毫無意義，我們最感興趣的還是地球的最終命運。可是“百萬”和“十億”間的區別，對國家的財經預算、世界人口、核武器傷亡人數等議題是“性命攸關”的。
盡管“億億萬萬”還是很流行，可是它代表的數目已經開始給人一種小家子氣、視野窄、快過時的感覺。一個更時髦的數字已經出現在地平線上靜候我們了，也許很快就要流行起來——那就是“萬億”(trillion)。
目前，全球軍備每年開銷幾近1萬億美元。所有發展中國家向西方銀行貸款的總負債額正接近2萬億美元(1970年時，隻有600億)。美國聯邦政府的年總預算也正逐步逼近2萬億美元。美國的國債是5萬億美元。在裏根總統年代提出的，技術可行性很成問題的“星球大戰”[8]計劃的估價1萬億~2萬億美元。地球上所有植物的總重量約為1萬億噸。恒星和“萬億”之間有某種天然的密切關係：我們的太陽係到最近的恒星係統——半人馬座α星(Alpha Centauri)的距離約為40萬億千米。
1後麵跟了多少個0
在美國的日常生活中，人們對百萬、十億、萬億這三者的混淆程度，已到了近乎流行病的狀態了。在電視新聞報道中，幾乎每星期都可以看到此類亂用(多數混淆都是搞不清究竟是百萬還是十億)。因此，也許你們可以原諒我，在此“話外生枝”，花些時間來闡明這些數字之間的差異。百萬是1000個“一千”，寫成數字是1後麵跟了6個0；十億是1000個“百萬”，寫成數字是1後麵跟了9個0；萬億是1000個“十億”(或100萬個“百萬”)，寫成數字是1後麵跟了12個0。
這是美國的傳統用法。有很長的一段時間，英國的“十億”是美國的“萬億”，而英國人把美國的“萬億”用較合理的寫法，寫成1000個百萬(1000 million)。歐洲人則把英國的“十億”(美國的“萬億”)叫成milliard。我小時候集過郵。我有一張未用過的德國郵票，是在德國通貨膨脹最高峰時發行的，票麵價值是50 milliarden(德文的milliard)。寄一封信要花上50萬億馬克的郵資(當時，人們用載貨的獨輪車裝錢去食品店或糕餅麵包店購物)。由於美國在世界上的影響力，這些迥異於美國的數字用法已經逐漸被淘汰掉。現在，milliard這個單詞幾乎很難看到了。
一個絕不會搞混上述超大數字的辦法是，數一下1後麵跟了多少個0。可是，如果0的數目太多，數起來就有點費事了。這就是我們在每3個0之間加入逗號或空格的原因。因此，1萬億的寫法是1,000,000,000,000或1 000 000 000 000(歐洲人用句點“.”代替逗點“,”)。至於那些比萬億更大的數字，你就要數一下有多少3個0的小節了。如果有種方法能讓我們立刻看出有多少個0，那我們碰到一個很大的數字時，理解起來就會容易很多了。
指數表示法
科學家和數學家都是務實之人，他們發明了一套實際的計數方法，叫作指數(exponent)法。首先，你先寫下數字10，然後在它的右上方寫下一個字體較小的上標(superscript)數字，顯示1後麵跟了幾個0。因此，106=1 000 000；109=1 000 000 000；1012=1 000 000 000 000，以此類推。這些上標數字就叫作指數，又稱次方；例如，109就稱為10的9次方(或10的9次冪)。其中102和103為例外，分別稱為10的平方和10的立方。“次方”和其他許多科學術語——如“參數”(parameter)——已逐漸滲透到我們的日常生活用語中，可是它們的詞意經常被曲解。
使用次方的一個好處是清晰不易弄錯，它的另一個好處是，當兩個很大的數字相乘時，乘數的指數就是這兩個數字的指數和，因此，1000×1 000 000 000 = 103×109=1012。再舉一個更大的數字為例：如果每個星係中平均有1011顆恒星，且宇宙中有1011個星係，那麽宇宙內的總恒星數就是1022顆。可是有許多人一看見數字就膽怯，自然對數學產生一種莫名的反感，怕用次方這個符號(盡管次方的應用真的避免了不少麻煩)，而且排版人員還常常排錯上標數字，例如把109排成109(這本書的排版人員可以說是例外)。
第12頁的表顯示了幾大常用大數詞語，每個詞語都比上一個增加1000倍。在英文用語中，萬億以上的詞語就很少用到了。如果你每秒念一個數字，你要不停地數一個星期才可以數到百萬，花半生的時間才可以數到十億。即使你從宇宙誕生時就開始數，你還數不到1018。
從宇宙誕生時就開始數數
更大的數字名稱是：
sextillion(1021)， septillion(1024)， octillion(1027)， nonillion(1030)，和decillion(1033)。地球的質量是6 octillion克。
還有一些科學計數符號或指數也有名稱。如：電子的大小級別是飛米(又稱費米，femtometer， 10-15m)；黃光的波長為半微米(0.5 μm)；人眼勉強可以看到0.1毫米(10-4m)大小的小蟲；地球半徑為6300千米
(6300千米 = 6.3 Mm = 6.3百萬米)；一座山的重量可能有100 petagrams
(100 pg = 1017克)。所有的數字前綴在下表列出：
續表
輕鬆與大數字打交道
一旦你熟悉了指數的用法，你就可以輕鬆地與極大的數字打交道了。例如：一茶匙土壤的微生物數約為108個，地球上所有沙灘的沙粒數約為1020粒，地球上的生物總數約為1029個，所有生物的原子數約為1041個，太陽的原子總數約為1057個，宇宙中的基本粒子，包括電子、質子、中子等，約為1080個。這並不是說你的腦中就有了一個十億或萬億的想象圖像——沒有人有。可是，一旦用了指數符號，你就能想象或運算這類大數字了。對最開始一無所知，隻會用手指或腳趾來計算他周遭同伴的原始人類而言，有這樣的計算能力已算是不錯的了。
大數字是現代科學的一部分，可是我不希望留給人們一個印象，就是大數字是當代的產物。
在很早的時候，印度人的數學就引用了極大的數字。你在現代的印度報紙上可以看到罰金或預算中都用了拉克(lakh， 10萬)或克羅爾(crore， crore等於100 lakh)來計算。印度人用了以下的代詞：das = 10、san=100、hazar=1000、lakh=105、crore=107、arahb=109、crahb=1011、nie=1013、padham=1015、sankh=1017。在古墨西哥文明被歐洲人摧毀之前，瑪雅人對世界的曆史自有一套時間的標尺，這標尺與歐洲人以前公認的、小得可憐的宇宙年齡[9]相比真有天壤之別。在那些位於金塔納羅奧州(Quintana Roo)科巴區(Coba)[10]逐漸被風化的古建築遺跡中，有碑文顯示，在古代瑪雅人的想象中，宇宙的年齡為1029年。古印度人認為目前輪回的宇宙[11]的年齡約為8.6×109年——幾乎和現代科學估計的數字相符。而在公元前3世紀，一名西西裏島的數學家，阿基米德，寫了一本名為《數沙者》的書，書中估算用沙粒把宇宙裝滿約需1063顆沙粒。在真正的大問題中，“億億萬萬”隻是微不足道的零頭而已。