第4章 教授關於彎曲空間、引力和宇宙的講座
女士們，先生們：
今天我將要討論的問題是關於彎曲空間以及其與引力現象的關係。你們中的任何一位都能夠很容易地想象出一條曲線或者一個曲麵，對於這點，我絲毫沒有懷疑。不過一旦提到三維的彎曲空間，你們的臉就會拉得老長了，你們會想，這是某種極不尋常近乎超自然的東西。那麽是什麽原因讓人們普遍對彎曲空間產生“恐懼”？難道這個概念真的比曲麵的概念更難理解嗎？要是你們稍微思考一下，你們當中就有很多人可能會說，難以想象出一個彎曲空間是因為無法像觀察一個球的彎曲的表麵，或者打另外一個比方，觀察尤其是像馬鞍一樣彎曲的表麵，來“從外部”對它進行觀察。然而，說這些話的人不過是證明了他們自己並不懂曲率的嚴格數學意義而已。實際上，曲率一詞的數學意義與它普通的用法是大不相同的。我們數學家將某個麵稱為曲麵，是因為在這個麵上所畫的幾何圖形的性質不同於在平麵上畫的同一幾何圖形的性質，我們是以它偏離歐幾裏得古典法則的程度來測量它的曲率。如果你在一張平麵的白紙上畫一個三角形，那麽正如你從基礎幾何學中學到的，這個三角形內角的總和就等於兩個直角之和。你可以將這張紙彎成圓柱形、圓錐形，甚至是更加複雜的形狀，但是在紙上的三角形的內角和依舊保持等於兩個直角。
這種表麵的幾何性質不隨上述的這些形變而改變，從“內在”曲率的角度來看，形變後所形成的表麵（在一般概念中是彎曲的）就和平麵一樣平坦。但是如果你不把一張紙撕開，就無法把它與一個球麵或者鞍形麵完全貼合，而且假設你想要在一個球體上畫一個三角形（即球麵三角形），那麽歐幾裏得那些幾何學基本原理就不再成立了。事實上，舉個例子，我們可以用北半球任意兩截經線與兩者間的那段赤道形成一個三角形，那麽這時這個三角形的兩個底角都是直角，而頂角則可以是任意大小的角度。在這樣的情況下，三角形的內角和就大於兩個直角了。
恰恰相反，你會很驚訝地發現，在一個鞍形麵上，三角形的內角和永遠會小於兩個直角。
這麽看來，決定一個表麵的曲率就需要研究這個表麵的幾何性質，而從外部來觀察這一方法往往是具有誤導性的。僅僅通過這種觀察，你可能會將圓柱麵與環麵劃為同一類別，而事實上圓柱麵是平麵，而環麵是無法矯正的曲麵。一旦你習慣了曲率這一新的嚴格的數學概念，就不再難理解物理學家們在討論我們所居住的空間是不是彎曲的時候所指的是什麽意思了。關鍵問題就是要找出物理空間中的幾何性質能不能符合歐幾裏得基本定理。
不過，當討論實際的物理空間的時候，我們首先要做的就是給出幾何學中術語的物理定義，尤其是要闡明我們所理解的構成形狀的直線的概念。
我猜在座的各位都明白，一條直線段最為廣泛的定義就是兩點間最短的距離。在兩點間拉一根細繩就可以得到這條直線段，或者也可以通過另外一個類似但又更加精細的過程得出，即通過實驗來找到兩點之間存在一條線段，它測量出來的長度是最小的。
為了證明這些找直線的方法所得出的結果是取決於物理條件的，讓我們想象有一個巨大的圓形平台，它繞著自己的軸勻速地轉動著。一位實驗者想要測量出這個圓台外圍兩點間的最短距離。他手裏有一盒子的小尺子，每個五英寸長，他將它們一個一個以最少的數量從一個點連接到另一個點。如果這個平台沒有在旋轉，那麽他擺出尺子的線路就如圖中我們虛線所示。
但是由於平台的旋轉，正如我之前的講座中所說的，他手中的測量尺正在經曆著相對論性收縮，所以那些更靠近平台邊緣（也因此具有更大線速度）的尺子要比靠近中心的尺子收縮更多一些。所以就明確了，為了使每個尺子覆蓋的距離盡可能大，實驗者就需要盡可能地把它們往圓的中心放。但是，既然直線的兩端固定在圓的邊緣，要將直線中間段的尺子移得太靠近中心也是不對的。
所以兩種情況中和一下就可以得出結果，即圓上兩點間的最短距離是向圓心輕微凸起的一條曲線。
如果實驗者們不用一個一個單獨的尺子，取而代之的是在兩點之間拉一條線，那麽得出的結果明顯是一樣的。因為這條線的每一部分都和單獨的尺子一樣，受著相對論性收縮的影響。在此我想強調的是當圓台開始旋轉時，實驗者們拉的線條所發生的形變與離心力產生的影響毫無關係。實際上無論這根線條的拉力有多強，這種形變都是不會變的，更不必在意普通的作用在相反方向的離心力。
假設現在圓台上的觀察者想要驗證自己得出的結果，將自己得到的直線與一束光線做對比，那麽他將會發現那束光線就沿著他拉的那條直線傳播。當然，站在圓台邊的觀察者們，在他們看來，光線根本沒有彎曲，而是會將站在圓台上移動的觀察者們得出的結果解釋為忽略了平台的旋轉與光線的直線傳播，然後告訴你，如果你在旋轉的留聲機唱片上畫一條直線，唱片上的劃痕也一定是彎曲的，而不是直的。
然而，站在旋轉的圓台上的觀察者們認為，把他所看到的曲線叫成直線也是非常有道理的。它是兩點間最短的距離，而且它恰好與他所在的參照係裏的光線重合。假設此時他在圓的邊緣選三個點，然後將它們用直線連上，從而形成一個三角形。那麽在這個例子中，三角形內角的和就小於兩個直角，由此他可以正確地得出結論說，他所處的空間是彎曲的。
再舉一個例子，讓我們假設在圓台上的另外兩個觀察者（2和3），他們決定通過測量圓台的直徑和周長來確定數據。2號觀察者的測量尺不會受到旋轉的影響，因為它的移動方向總是與它本身相垂直。而3號觀察者的測量尺會隨著圓台的旋轉而收縮，所以他得出的圓周長會比靜止的圓台的圓周長長一些。將3號得出的結果數據除以2號觀察者的數據，我們會發現得出的結果比教材書本上給出的π值要大，這再一次證明了空間曲率的存在。
不僅是長度的測量會受到旋轉運動的影響。據我之前的講座內容，放在圓周邊的手表具有相對較大的速率，因此也會比放在圓心的手表走得慢一些。
假設兩位實驗者（4和5），他們在圓盤的中心對過了表。然後5號實驗者帶著表在圓盤邊站了一段時間，回到圓心後發現他的表比一直待在圓心的4號實驗者的表慢了許多。由此他會得出結論，在圓盤的不同地方，物理進程的速率都各不相同。
再假設現在我們的實驗者們停下實驗，對他們剛剛在幾何學測量中得出的異常的數據進行小小的反思。同樣假設圓台此時是封閉的，形成了一個旋轉的沒有窗戶的房間，這樣實驗者們就不會通過周邊環境的移動而發現自己在旋轉。那麽在這樣的情況下，撇去平台相對於“靜止的平地”做旋轉運動的因素不談，他們能不能把在平台上觀察到的所有現象都解釋為物理條件呢？
通過對比尋找圓台上的物理條件和“靜止平地”上的物理條件，就可以解釋所觀察到的幾何性質的變化了。實驗者們會立刻注意到，存在一個新的力量，將平台上的所有物體都從圓心往邊緣方向拉去。自然而然地，他們將這些觀察到的現象歸因於這種力的作用。在這種新的力的作用下，兩隻手表中距離圓心較遠的那隻手表走得會相對慢些。
但這種力真的是“新的”力嗎？從來沒有在“靜止的平地”上出現嗎？我們沒有觀察到所有物體都被所謂的重力撤離地球中心嗎？當然，在一個案例裏，我們的注意點在圓盤的邊緣，而在另一個案例裏，我們的注意點在地球中心。但是這兩個案例唯一存在的一個不同就是力的分布。不過，我很容易就可以給你另外一個例子。與我們現在這個會議室所處的重力場極為類似的一個參照係中，不勻速的運動形成了“新的”力。
假設有一艘專門進行星際航行的宇宙飛船，自由地飄浮在太空的某個地方，離任何一顆恒星都很遙遠，所以飛船內不受任何引力的作用。因此，在這樣一艘飛船裏的所有物體，包括身在其中的實驗者們，他們都沒有任何重力，他們自由地在空氣中飄浮著，就像凡爾納著名的小說中阿爾丹和他的旅伴在飛往月球的途中一樣。
此時，引擎發動了，我們的飛船開始移動，漸漸地速度增快了。那麽飛船裏麵將會發生什麽呢？很容易就能看出，隻要飛船在加速，它內部的所有物體都會顯示出朝飛船底部運動的傾向，或者可以換句話說，同樣的意思，飛船底部將朝著這些物體運動。假設，我們的實驗者手裏拿著一個蘋果，然後放手，那麽這個蘋果會以固定的速度繼續運動（相對於飛船外的恒星來說），這一速度就是放開蘋果那一瞬間飛船移動的速度。但飛船本身一直在加速，結果就是船艙底部一直運動得越來越快，最終趕上了那個蘋果並且撞上它，自這個瞬間往後，蘋果將永遠與船艙底部保持接觸，並以穩定的加速度壓在船艙上。
而在飛船內的實驗者看來，這一係列過程就像是蘋果以一定的加速度在“下落”，然後在擊中底部之後憑著自身的重力壓在底部。扔下不同的物體，他就會進一步發現所有這些物體掉落的加速度都相同（如果他忽略空氣的摩擦），然後就會想起來這正是伽利略所發現的自由落體定律。事實上，他根本不能發現在他加速的船艙中的現象和一般重力現象之間最細微的差別。他可以使用帶鍾擺的時鍾，把書擺在書架上也不用擔心它們會飛走，也可以在釘子上掛一幅愛因斯坦的肖像，正是愛因斯坦首先提出了參照係的加速度與重力場是等效的，他還以此為基礎發展出了廣義相對論。
但是在這裏，就像第一個旋轉的圓台的例子一樣，我們也會發現伽利略和牛頓在研究重力時所不知道的現象。穿過船艙的光線將會彎曲，投射到對麵牆上掛著的屏幕上的不同位置，當然，這可以解釋為光的勻速直線運動與船艙加速度運動相疊加的結果。船艙內的基礎幾何定理也必定是不成立的。三條光線組成的三角形的內角和會大於兩個直角，而一個圓的圓周與其直徑的比將大於通常的數值π。在這裏，我們所考慮的兩個加速度係統是最簡單的例子，不過上麵所闡述的等效性對於任何一個剛性的或可變形的參照係的運動也同樣成立。
現在我們就要麵臨最重要的問題了。我們剛剛在一個加速的參照係中觀察到了許多在一般重力場中未被觀察到的現象。那麽這些新現象，比如光線的彎曲或者鍾表的走慢，在可測質量所產生的重力場中是否依舊存在？或者換句話說，加速度的影響與重力的影響不僅是相似的，更是一致的？
盡管從啟發式的觀點來看，將這兩種影響效果視為完全一致是很有**力的，但是很明顯隻有通過直接的實驗才能得到最終的答案。人類非常重視宇宙定理的簡單性和內部統一性，令人類非常滿意的是，有實驗證明這些新的現象同樣也存在於一般重力場。當然，由加速度與重力場等效關係假設所推測出的效應是非常小的，這就是為什麽直到科學家們開始專門研究它們時才觀察到它們的原因。
以上麵所討論的加速係統為例，我們很容易就能估算出兩大最重要的相對論引力現象的數量級。
首先，我們以旋轉的圓盤為例。由基本力學得知，作用在離中心的距離為r的粒子上的離心力，可由以下公式算出：
其中，ω是圓台旋轉時固定的角速度。這個力在該粒子從中心運動到邊緣時所做的總功是：
其中，R是圓台的半徑。
根據上述等效原則，我們應該把F看作圓台上的重力，而把W看作圓心與邊緣之間的引力勢之差。
現在我們必須記得，正如我們在上一回講座中所看到的那樣，以速度v運動的時鍾走得慢一些是由於這個因素：
如果v與c相比較小，我們可以忽略第二項以後的各項。根據角速度的定義，v=Rω，那麽時鍾的“減慢因子”就是：
這是用兩個地點的引力勢差來造成時鍾速率的改變。
如果我們將一個時鍾放在埃菲爾鐵塔的底部，一個放在塔頂（約300米高），它們之間的勢差非常小，所以塔底時鍾的減慢因子隻有0.999 999 999 999 97。
然而，地球表麵與太陽表麵兩者間的引力勢差就大很多了，由此產生的減慢因子就是0.999 999 5，這可以通過極為精密的儀器測量到。當然，並不會有人真的把普通的時鍾放到太陽表麵上，然後觀察它的走針！物理學家們有更巧妙的方法。利用分光計，我們可以觀察到太陽表麵上各種原子的振動周期，並把它們與同一元素的原子在實驗室中的本生燈火焰中的振動周期做比較。在太陽表麵，原子的振動應該會慢一些，受到了上述公式（4）可計算出的減慢因子的影響，這些原子所發出的光也應該比地麵光源的光紅一些。這種“紅移”實際上已經在太陽的光譜中觀察到了，其他一些可以精確測量的恒星的光譜中也能夠觀察到，觀察到的結果與我們的理論公式所給出的值相符合。
因此，“紅移”的存在恰好證明了由於太陽表麵具有更大的引力勢能差，所以太陽上發生的運動會慢很多。
要測量重力場中光線的曲率，用之前舉的飛船的例子會方便一些。如果l是光線穿過船艙的距離，那麽光線走過這段距離的時間t為：
在這段時間內，以加速度g運動的飛船所飛過的距離L，根據基礎力學公式可以得出：
因此，表示光線方向改變的角度具有以下的數量級：
光在引力場中走過的距離l越大，弧度Φ就越大。在這裏，飛船的加速度g當然可以被解釋為重力加速度。如果我現在讓一束光線穿過這個會議廳，我可以粗略地取l=1000厘米。地球表麵重力加速度g=981厘米／秒2，c=3×1010厘米／秒，那麽我們可以得到：
這樣你就可以看出，在這樣的條件下，光線的曲率是肯定不能被觀察到的。然而在靠近太陽表麵的地方，g=27 000厘米／秒2，而且光線在太陽引力場中穿過的距離是非常遠的。有精確的計算表明，一束光線在太陽表麵附近通過時的偏轉值應該是1.75弧秒。這正好與天文學家在日全食時觀察到的，太陽旁邊的恒星視位置的位移值相同。所以現在你也可以明白，這些觀察向我們完全展示了加速度的效應及引力的影響。
現在我們可以回到關於空間曲率的問題了。你們應該還記得，我們給直線以最合理的定義，從而得出了結論，認為在非勻速運動的參照係中所得到的幾何圖形是不同於歐幾裏得幾何定理的，這樣的空間應該被認為是彎曲空間。既然任意一個重力場都與同一參照係中的某個加速度等效，那麽就意味著任何一個有重力場存在的空間都是彎曲空間。或者，進一步說，重力場隻是彎曲空間的一個物理表現。因此，每一點上的空間曲率都應該由質量的分布來決定，在質量重的物體附近，空間曲率應該達到它的最大值。描述彎曲空間的性質和它們與質量分布的關係的數學公式相當複雜，我在這裏就不深入介紹了。我隻想提醒一點，這個曲率一般不是取決於一個量，而是取決於十個不同的量，即通常為大家所知的重力勢的分量gμv，它們是我之前用W表示的古典物理學重力勢的一般化。相對應地，每個點的曲率也是由十個不同的曲率半徑來描述，通常寫成Rμv。愛因斯坦提出的基礎方程式解釋了這些曲率半徑與質量分布的關係：
在該公式中，Tμv取決於密度、速度和質量所產生的重力場的其他性質。
在本場講座的尾聲，我想再提一提關於以上這個公式（9）的一個最有意思的結論。如果我們所考慮的是質量均勻分布的空間，比如我們這個分布著恒星和星係的空間，我們可以得出一個結論，除了在各個分開的恒星附近偶爾出現很大的曲率以外，整個空間通常會傾向於在長距離上均勻地彎曲。從數學上來講，該公式有幾個不同的解，一些解得出的結論是我們的空間最終會自我封閉，因此具有有限的體積；而另外一些解得出的結論是這個空間相當於我在講座開始提到過的鞍形麵，是無限空間。這個公式第二個重要的結果是，這樣的彎曲空間應該處在穩定的膨脹或收縮中，在物理學上這就意味著分布在這個空間中的粒子應該會不斷飛離彼此，或者恰恰相反，彼此不斷靠近。此外，它還向我們展示了，對於具有有限體積的封閉空間，膨脹和收縮是周期性的相互交替的——這就是所謂的脈動宇宙。而另外，無限的“鞍形麵”空間則永恒地處在收縮或膨脹的狀態中。
在所有這些在數學上的可能性中，有哪一個可以與我們所居住的這個空間相對應呢？這個問題不僅需要物理學家的解答，還需要天文學家的研究。在此我不對這個問題進行深入探討。我隻提一下，截至目前，天文學中所得到的證據無疑證明我們的空間在膨脹，至於這個膨脹將來會不會轉為收縮，這個空間大小是有限的還是無限的，這兩個問題尚未得到明確解答。