三、函數和變數

科學上使用的名詞，都有它死板的定義，說實話，真是太乏味了。什麽叫函數，我們且先來舉個不大合適的例。

我想，先把“數”字的意思放寬一些，不必太認真，在這裏既不是要算狗肉賬，倒也沒有什麽大礙。這麽一來，我可以告訴你，現在的社會中，“女子就是男子的函數”。但你不要誤會，以為我是在說女子應當是男子的奴隸。奴隸不奴隸，這是另外的問題。我想說的隻是女子的地位是隨著男子的地位變的。寫到這裏，忽然筆鋒一轉，記起一段笑話，一段戲文上的笑話。有一個窮書生，討了一個有錢人家的女兒做老婆，因此，平日就以怕老婆出了名。後來，他的運道亨通了，進京朝考，居然一榜及第。他身上披起了藍衫，許多人侍候著。回到家裏，一心以為這回可以向他的老婆複仇了。哪知老婆見了他，仍然是神氣活現的樣子。他覺得這未免有些奇怪，便問：“從前我窮，你向我擺架子，現在我做了官，為什麽你還要擺架子呢？”

她的回答很妙：“愧煞你是一個讀書人，還做了官，‘水漲船高’你都不知道嗎？”

你懂得“水漲船高”嗎？船的位置的高低，是隨著水的漲落變的。用數學上的話來說，船的位置就是水的漲落的函數。說女子是男子的函數，也就是同樣的理由。在家從父，出嫁從夫，夫死從子，這已經有點兒像函數的樣子了。如果還嫌粗略些，我們不妨再精細一點兒說。女子一生下來，父親是知識階級，或官僚政客，她就是千金小姐；若父親是挑糞、擔水的，她就是丫頭。這個地位一直到了她嫁人以後才會發生改變。這時，改變也很大，嫁的是大官僚，她便是夫人；嫁的是小官僚，她便是太太；嫁的是教書匠，她便是師母；嫁的是生意人，她便是老板娘；嫁的是x，她就是y，y總是隨著x變的，自己無法作主。這種情形和“水漲船高”真是一樣，所以我說，女子是男子的函數，y是x的函數。

不過，這隻是一個用來作比喻的例子，女子的地位雖然隨了她所嫁的男子有夫人、太太、師母、老板娘、y……的不同，這隻是命運，並非這些人彼此之間骨頭真有輕重的差別，所以無法用數量來表示。說是函數，終究有些勉強，真要明了函數的意思，我們還是來正正經經地講別的例吧！

請你放一支燃著的蠟燭在隔你的嘴一米遠的地方，倘若你向著那火焰吹一口氣，這口氣就會使那火焰歪開、閃動，說不定，因為你的那一口氣很大，直接將它吹滅了。倘若你沒有吹滅——就是吹滅了也不要緊，重新點著好了——請你將那支蠟燭放到隔你的嘴三米遠的地方，你照樣再向著那火焰吹一口氣，它雖然也會歪開、閃動，卻沒有前一次厲害了。你不要怕麻煩，這是科學上的所謂實驗的態度。你無妨向著蠟燭走近，又退遠開來，吹那火焰，看它歪開和閃動的情形。不用費什麽事，你就可以證實隔那火焰越遠，它歪開得越少。我們就說，火焰歪開的程度是蠟燭和嘴的距離的“函數”。

我們還能夠決定這個“函數”的性質，我們稱這種函數是“降函數”。當蠟燭和嘴的距離漸漸“加大”的時候，火焰歪開的程度（函數）卻逐漸“減小”。

現在，將蠟燭放在固定的位置，你也站好不要再走動，這樣蠟燭和嘴的距離便是固定的了。你再來吹那火焰，隨著你那一口氣的強些或弱些，火焰歪開的程度也就大些或小些。這樣看來，火焰歪開的程度，也是吹氣的強度的函數。不過，這個函數又是另外一種，性質和前麵的有點兒不同，我們稱它是“升函數”。當吹氣的強度漸漸“加大”的時候，火焰歪開的程度（函數）也逐漸“加大”。

所以，一種現象可以不隻是一種情景的函數，即火焰歪開的程度是吹氣的強度的升函數，又是蠟燭和嘴的距離的降函數。在這裏，有幾點應當同時注意到：第一，火焰會歪開，是因為你在吹它；第二，歪開的程度有大小，是因為蠟燭和嘴的距離有遠近，以及你吹的氣有強弱。倘使你不去吹，它自然不會歪開。即使你去吹，蠟燭和嘴的距離，以及你吹的氣的強弱，每次都是一樣，那麽，它歪開的程度也沒有什麽變化。所以函數是隨著別的數而變的，別的數也得先會變才行。窮書生不會做官，他的老婆自然也就當不來太太。因為這樣，這種自己變的數，我們稱它為變量或變數。火焰歪開的程度，我們說它是倚靠著兩個變數的一個函數。在日常生活中，我們也能找出這類函數來：你用一把錘子去敲釘子，那錘子施加到釘子上的力量，就是錘的重量和它敲下去的速度這兩個變量的升函數；還有火爐噴出的熱力，就是爐孔的麵積的函數。因為爐孔加大，火爐噴出的熱力就會漸漸減弱。至於其他的例子，你隻要肯留意，隨處可見。

你會感到奇怪了吧？數學是一門多麽精密、深奧的學科，從這種日常生活中的事件，憑借一點兒簡單的推理，怎麽就能夠扯到函數的數學的概念上去呢？由我們的常識的解說又如何發現函數的意義呢？我們再來講一個比較細密的例子。

我們用一個可以測定它的變量的函數來做例，就可以發現它的數學的意義。在鍋裏熱著一鍋水，放一隻寒暑表在水裏麵，你注意去觀察那寒暑表的水銀柱。你守在鍋子邊，將看到那水銀柱的高度一直是在變動的，經過的時間越長，它上升得越高。水銀柱的高度，就是那水溫的函數。這就是說，水銀柱的高度是隨著水量和水溫而變化的。所以倘若測得了所供給的熱量，又測得了水量，你就能夠求出它們的函數——那水銀柱的高來。

對於同量的水增加熱量，或是同量的熱減少水量，這時水銀柱一定會上升得高些，這高度我們是有辦法算出的。

由上麵的例子看來，無論變數也好，函數也好，它們的值都是不斷變動的。以後我們講到的變數中，特別指出一個或幾個來，叫它們是“獨立變數”（或者，為了簡便，就隻叫它變數）。別的呢，就叫它們是“倚變數”，或是這些變數的函數。

對於變數的每一個數值，它的函數都有一個相應的數值。若是我們知道了變數的數值，就可以決定它的函數的相應的數值時，我們就稱這個函數為“已知函數”。即如前麵的例子，倘若我們知道了物理學上供給熱量對水所起的變化的法則，那麽，水銀柱的高度就是一個已知函數。

我們再來舉一個非常簡單的例子，還是回到等速運動上去。有一個小孩子，每分鍾可以爬五米遠，他所爬的距離就是所爬時間的函數。假如他爬的時間用t來表示，那麽他爬的距離便是t的函數。在初等代數上，你已經知道這個距離和時間的關係，可以用下麵的式子來表示：

d=5t

若是仿照函數的表示法寫出來，因為d是t的函數，所以又可以用F（t）來代表d，那就寫成：

F（t）=5t

從這個式子中，我們若是知道了t的數值，它的函數F（t）的相應的數值也就可以求出來了。比如，這個在地上爬的小孩子就是你的小弟弟，他是從你家大門口一直爬出去的，恰好你家對麵三十多米的地方有一條小河。你坐在家裏，一個朋友從外麵跑來說看見你的弟弟正在向小河的方向爬去。他從看見你的弟弟到和你說話正好三分鍾。那麽，你一點兒不用慌張，你的小弟弟一定還不會掉到河裏。因為你既知道了t的數值是3，那麽F（t）相應的數值便是5×3=15米，距那隔你家三十多米遠的河還遠著呢！

以下要講到的函數，我們在這裏來說明而且規定它的一個重要性質，就叫作函數的“連續性”。

在上麵所舉的函數的例子中，那函數都受著變數的連續的變化的支配，跟著從一個數值變到另一個數值，也是“連續的”。在兩頭的數值當中，它經過了那裏麵的所有中間數值。比如，水的溫度連續地升高，水銀柱的高也連續地從最初的高度，經過所有中間的高度，達到最後一步。

你試取兩桶溫度相差不多的水，例如，甲桶的水溫是30℃，乙桶的是32℃，各放一隻寒暑表在裏麵，水銀柱的高前者是15厘米，後者是16厘米。這是很容易看出來的，對於2℃溫度的差（這是變數），相應的水銀柱的高（函數）的差是1厘米。設若你將乙桶的水涼到31.6℃，那麽，這隻寒暑表的水銀柱的高是15.8厘米，而水銀柱的高的差就變成0.8厘米了。

這件事情是很明白的：乙桶水從32℃降到31.6℃，中間所有的溫度的差，相應的兩隻寒暑表的水銀柱的高的差，是在1厘米和0.8厘米之間。

這話也可以反過來說，我們能夠得到兩隻寒暑表的水銀柱的高的差（也是隨我們要怎樣小都可以，比如是0.4厘米）相應到某個固定溫度的差（比如0.8℃）。但是，如果無論我們怎樣弄，永遠不能使那兩桶水的溫差小於0.8℃，那麽兩隻寒暑表的水銀柱的高的差也就永遠不會小於0.4厘米了。

最後，若是兩桶水的溫度相等，那麽水銀柱的高也一樣。假設這溫度是31℃，相應的水銀柱的高便是15.5厘米。我們必須要把甲桶水加熱到31℃，而把乙桶水涼到31℃，這時兩隻寒暑表的水銀柱一個是上升，一個卻是下降，結果都到了15.5厘米的高度。

推到一般的情形去，我們考察一個“連續”函數的時候，就可以證實下麵的性質：當變數接近一個定值的時候，或者說得更好一點，“伸張到”一個定值的時候，那函數也“伸張”，經過一些中間值，“達到”一個相應的值，而且總是達到這個相同的值。不但這樣，它要達到這個值，那變數也就必須達到它的相應的值。還有，當變數保持著一定的值時，函數也保持著那相應的一定的值。

這個說法，就是“連續函數”的精密的數學定義。由物理學的研究，我們證明了這個定義對於物理的函數是正相符合的。尤其是運動，它表明了連續函數的性質：運動所經過的空間，它是一個時間的函數，隻有衝擊和反擊的現象是例外。再說回去，我們由實測不能得到的運動的連續，我們的直覺卻有力量使我們感受到它。多麽光榮呀，我們的直覺能結出這般豐盛的果實！