06 數之冰山的水下部分 Below the Waterl ine of the Number Iceberg

引言

不過,人們在19世紀最偉大的成就之一是充分意識到數域其實不是一維的,而是二維的。複數(complex number)構成的平麵才是大部分數學論辯的天然場地。這個結論是數學家和科學家通過解決問題才意識到的——為了能夠開展研究,解決現實中的問題,有必要擴展數的邊界。雖然很多問題似乎都隻跟普通的自然數有關。關於這個額外的維度是怎樣出現的,我們將在本章的末尾做出解釋,並在第8章中進一步探討這個話題。

加和減

整數指代所有“整的”數組成的集合,包括正的、負的以及0。這個集合通常用字母Z[1]來表示,它向兩邊無窮延伸:

{…,-4,-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3, 4,…}

我們常把整數看作水平數軸上等距的點,它們按以上的次序排列。為了能用整數運算,下麵總結了我們需要知道的額外的規則:

(a)加上或減去一個負整數,-m:加的時候我們向左移動m個位置,減的時候我們向右移動m個位置。

(b)乘以整數-m:我們將原整數乘以m,接著再改變符號。

換句話說,加上或者減去負數的方向和正數情況下的相反,而將一個數乘以-1則會使得它的符號反轉。比如:8+(-11) = -3, 3×(-8) = -24,(-1)×(-1) = 1。

你無需為最後那個式子困擾。首先,一個負數乘以一個正數得到負數,這是合理的。因為當債務(負的量)產生了利息(一個大於1的正乘數),結果會是更重的債務,也就是說一個值更大的負數。這一點我們都很清楚。一個負數乘以一個負數,應該給出相反的結果,即一個正數,這樣才與前麵的一致。我們甚至可以給負負得正這個事實一個嚴格的證明。它基於這樣的假設:我們希望擴展的整數係統包含了原來的自然數,並且繼續遵守所有代數運算的普通規則。事實上,兩個負數的積可以從任何數乘以0等於0推出。(這個結論也不是一個假設,而是代數法則的必然結果。)我們現在有:

-1×(-1+1) = -1×0 = 0 .

將括號拆開,我們看到要想左邊等於0,(-1)×(-1)必須與(-1)×1反號,換句話說(-1)×(-1) = 1。

分數和有理數

因此,我們找到了原分數的埃及分解:

將這個等式應用於m= 9, p= 4, q= 5,我們立即得到

這樣的技巧常常被用於簡化包含無窮重複過程的表達式。比如,考慮下麵這個令人生畏的式子:

通過求平方,接著再一次平方,左側變成a4,而右側的表達式變成:

由於5後麵跟著的正是a的表達式,我們推知a4= 20a,於是a3=20,或者a是20的立方根——如果你更喜歡這樣說。在第7章中我們會再次用到這個技巧,那裏我們將介紹所謂的連分數(continued fraction)。

分數這一類別是否提供了我們可能需要的所有數了呢?正如之前提到的,所有分數以及它們的負數的總合,形成了被稱為有理數的集合,也就是由整的數和它們之間的比值所產生的所有的數。它們對於算術來說是足夠的,這意味著,涉及加、減、乘、除四種基本運算的任何結果都不會將你帶出有理數的範圍。如果我們對此感到滿意,那麽這個數集就是我們所需的。不過,在下麵的小節,我們來解釋為什麽像上麵的a那樣的數不是有理的。

無理數

使用類似的推理,我們能夠證明,一般取一個數的平方根(或是立方根甚至是更高次方根)的時候,答案如果不是一個整數,就總是一個無理數。這就解釋了當你計算方根的時候,為什麽你的計算器上顯示的小數從來都沒有循環的跡象。

這個問題在古典時代(classical times)一直無人問津。直到1837年皮埃爾·汪策爾(Pierre Wantzel)才將其“蓋棺定論”:2的立方根在歐幾裏得工具所能到達的範圍之外。這麽晚是因為我們需要一種精確的代數來描述古典工具能達到的極限,這樣才能看出2的立方根從根本上講是一種不同類型的數。實際上,最後這可以歸結為證明用平方根和有理數永遠不可能造出立方根。這樣說的話,這個不可能性聽起來似乎更合理一些了。當然,這還不能構成一條證明。

超越數

無理數中還存在著神秘的超越數(transcendental)家族。這些數不能由普通的算術運算或是求方根得出。在給出精確的定義之前,我們先介紹與之互補的集合,代數數(algebraic number),其中每個數都是一個擁有整數係數的多項式方程的解。例如,x5-3x+1 = 0就是這樣的一個方程。超越數則被定義為非代數數。

到底有沒有這種數呢?答案完全不明顯。不過,它們確實是存在的,隻是它們的社群十分隱秘,其中每個成員都對自己的會員身份諱莫如深。比如π這個數就是超越數的一例,但這不是一目了然的事情。在下一章中,我們將要探索無限集合的性質,那時候我們會解釋為什麽“大部分”數都是超越的,我們會嚴密地闡釋這個“大部分”的含義。

另一種產生神秘的e的方法是將階乘的倒數相加。這也是一種以很高精度計算e的途徑,因為這個級數(series[3])的各項迅速趨近於0,於是級數本身會很快收斂:

實的和虛的

本書的前五章主要都在和正整數打交道。我們強調了整數的因數分解性質,這引導我們去考慮不具有真正分解的數——也就是素數,這個集合在現代密碼學中占據了舉足輕重的位置。我們還了解了一些具體類型的數,比如和完美數有緊密聯係的梅森素數。我們耐心地介紹了一些特殊的整數,對某些自然出現的集合計數的時候,它們扮演重要的角色。在所有這些數當中,大背景都是整數係統,即自然數、它們的負值以及0。

在這一章我們走出了整數的範圍,首先是進入有理數的地界(分數,包括正的和負的),接著又走進了無理數。在無理數這個類別中我們認識了超越數。所有這一切背後的基礎是實數係統,實數可以看作所有可能的小數展開式的集合。任何正實數都可以用r= n.a1a2…的形式來表示,這裏n是一個非負整數,小數點後麵跟著一串無窮多的數字組成的尾巴。如果這條尾巴最終進入一個循環,那麽r其實是有理數,而我們已經介紹過怎樣將這個表達式轉換成一個普通的分數。如果沒有進入循環,那麽r是無理的。因此,實數包含了這兩種不同的類型,有理數和無理數。

在我們的數學想象中,我們常常將實數看作對應於數軸上所有的點,從0向外看去,右邊是正數,而左邊是負數。這給了我們一個對稱的圖像,負實數構成正實數的鏡像。這一對稱性在加法和減法運算中得以保留,但不適用於乘法。一旦我們進入乘法的範疇,正負數便不再擁有同等的地位,因為數1被賦予了其他數都沒有的性質,它是乘法單位量(multiplicative identity)。意思是說對於任意實數r,都有1×r=r×1=r。乘以1使得任何數原地不動,但是相反地,乘以-1會將一個數和它在0的另一邊的鏡像對調。一旦乘法進入我們的視野,正數和負數在性質上的本質不同便顯現了出來。特別是,負數在實數係統中不具有平方根,因為任何實數的平方總是大於或等於0。

這一情形恰恰呼喚著我們的虛數(imaginary number)的登場。在最後一章中我們會重拾這一話題。現在,讓我們隻做一些介紹性的點評。

在16世紀,意大利數學家們通過推廣二次方程的解法,學會了如何解三次和四次多項式方程,此時這個問題第一次全麵浮現出來。後來所說的卡爾達諾法[4](Cardano method)中,雖然到最後方程的解是正整數,但計算過程常常涉及負數的平方根。從那時起人們逐步發現,使用複數可以讓許多數學計算得以開展。複數是形如a+bi的數,這裏a和b都是普通的實數。例如,在18世紀,歐拉發現並應用了eiπ = -1這個小小的出人意料的等式,每一個第一次見到它的人都會禁不住驚訝。

在19世紀早期,韋塞爾[5](Wessel)和阿爾岡[6](Argand)研究了複數的幾何解釋——即坐標平麵(標準的xy-坐標)上的點,在這之後“虛的”這一術語被普遍接受為數學用語。將複數x+iy和具有坐標(x,y)的點對應起來,這使得我們能夠通過平麵上的點的行為來研究複數的行為,事實證明這是極富啟發性的。關於所謂的複變量(complex variable)的理論,研究的是依賴於複數——而不僅僅是實數——的函數。經由奧古斯丁·柯西(Augustin Cauchy)的發展,這一理論枝繁葉茂。它現在已經成為數學的一塊基石,並且為電信號理論提供了數學基礎,而整個X射線衍射領域完全建立在複數的基礎上。人們已經證明這些數擁有實實在在的意義,除此之外,這個係統還是完備的,因為每一個多項式在複數係統中都有一組完整的解。我們會在最終章中回到這些話題。不過,在那之前,讓我們在下一章中先更近距離地觀察一下實數軸的無窮特性。

[2] 或稱不可通約的。

[3] 此處的series作為“級數”的意思,是無窮數列各項之和。注意這與之前series的意思不同,那裏series指數列。

[4] 吉羅拉莫·卡爾達諾(Girolamo Cardano),意大利學者。卡爾達諾法是求解一般三次方程的方法。

[5] 卡斯帕爾·韋塞爾(Caspar Wessel),挪威、丹麥數學家。

[6] 讓-羅貝爾·阿爾岡(Jean-Robert Argand),法國業餘數學家。