附錄C 理解貝葉斯定理

我們在此繼續討論第四章中流感的例子，看看貝葉斯定理是如何起作用的。為了了解貝葉斯定律在這個例子中的應用，我們需要引入數學家稱之為“符號”的知識。

首先，我們關注的假設是你罹患了流感，我們的證據是你的流感檢測報告呈陽性。

現在，我們要計算的是先驗概率，即你確實罹患流感的概率，計算根據是證據，即你的流感檢測報告呈陽性。我們把假設成立的概率值寫為Prob(假設|證據)。豎線“|”表示“基於”。

我們用Prob(假設)來表示假設(即你罹患流感)為真的先驗概率。“先驗概率”是指我們沒有得到新的證據之前，認為假設成立的概率。在本例中，這就是隨機挑選一個人，他得流感的概率。我們已知每1000人中大約有1個人感染流感，所以這個先驗概率為1/1000 = 0.001。我們可以把這個值看作假設成立的最初概率。如果我們對某人一無所知，那麽對他罹患流感的概率估計就是隨機挑選一個人，他罹患流感的概率就是千分之一。貝葉斯定理允許我們根據新的證據來更新這個結果，這就是它的魔力所在。

接下來，我們用Prob(證據|假設)來表示如果假設為真(即你罹患流感)，我們看到證據(即檢測結果呈陽性)的概率。我們知道這個測試的準確率為99%，所以如果你罹患流感，那麽在100次測試中有99次是呈現陽性的——如果你感染了流感，你的檢測結果呈陽性的概率是0.99。

最後，我們用Prob(證據)來表示隨機選擇一個人，測試結果呈陽性的概率。計算出這個值是唯一非常棘手的部分。在本例中，這個概率值的計算方法是一個人罹患流感的概率乘以他的測試結果是陽性的概率，再加上他們沒有流感的概率乘以測試仍然能給出陽性結果的概率。計算結果如下：

Prob(證據)=(0.001×0.99)+(0.999×0.01)= 0.11

那麽，現在采用貝葉斯推斷計算：

Prob(假設|證據)=[Prob(證據|假設)×Prob(假設)]/ Prob(證據)

代入我們剛才計算出的結果，即：

Prob(假設|證據)=[Prob(證據|假設)×Prob(假設)]/ Prob(證據)=(0.99×0.001)/ 0.011 = 0.09

所以，最終計算出來，你罹患流感的概率隻有0.09，比十分之還稍低一點點。