07 在科學、醫學和運籌學中的應用
Appl ications in Science, Medici ne, and Operations Research
我們會根據情景使用不同方式來對概率進行評定或者詮釋。但是，就像大衛·漢德(David Hand)在他的《牛津通識課：統計》(Statistics: A Very Short Introduction)中寫的那樣，“……微積分是一樣的”，換言之，概率的操縱方式是不變的。
你頭腦中要牢記這個學科的中心思想：加法和乘法定理、獨立性、將客觀概率和頻率聯係起來的大數定律、在將隨機數求和時候使用的高斯分布、其他的一些經常出現的分布函數、反映總體情況時有用的平均值和方差。我們可能不指望我們對相關概率知道得像前幾章那樣精確，但是一個對於問題大致正確的回答對於作出合適的決定有良好的指導意義。就像統計學家喬治·博克斯(George Box)所說的那樣，“所有的模型都不是完全正確的，但是有一些是很有用的”。
下兩章中舉例說明了概率的應用，這些應用以章節標題粗略地分了組。
布朗運動和隨機遊走
1827年，植物學家羅伯特·布朗(Robert Brown)觀察到，在**中懸浮的花粉粒子似乎隨機地在動來動去。將近80年之後，阿爾伯特·愛因斯坦(Albert Einstein)對其給出了一個解釋：花粉粒子被**中的分子持續地撞擊。這種運動當然是發生在三維空間中的，但是為了創建一個令人滿意的模型，我們首先思考在一條直線上的運動。
假設每一步運動都是具有固定長度的，有時向左有時向右，每一次運動都是獨立的。這個概念就叫作隨機遊走(Random Walk)。在許多次跳躍之後的位置隻取決於向兩個方向的跳躍次數的差值；從起始點計算的距離平均值和方差與進行跳躍的次數成正比。
下麵進行一個微妙的計算：在一個固定的時間段中，增加跳躍的頻率，並且降低每一次跳躍的距離。在這兩種因素平衡的情況下，極限情況就是連續運動，運動經過的隨機距離遵循高斯分布(依據中心極限定理)，這個分布的平均值和方差都與時間段長度成正比。如果向左和向右的運動是等可能的，平均值就會是0。
愛因斯坦對於布朗的觀察作出的解釋，是粒子在三維空間中運動，基於上文給出的原因，在每一個方向上的運動都遵循高斯分布。他對原子和分子的行為作出了預測，這些預測推動了一些實驗，這些實驗消除了有關原子和分子存在的所有懸而未決的問題。
術語“布朗運動(Brownian motion)”本應該專指在**中的粒子的實際運動，但是它也被用於指代描述這種運動的數學模型。
隨機數
“隨機數”這個詞指代的是下列兩種想法之一。第一，就像理想情況下的色子遊戲或者輪盤賭遊戲，一個數從一個有限的列表中被取出來，所有的這些數都是等可能的。第二，就像從一個隨機的一點折斷一根木棍一樣，一個點被從一個連續的區間中取出來，沒有任何一小段是比其他的小段更容易被取點的。取出這樣的隨機數中的一段長序列的方法具有廣泛的應用，序列中的每一個值與其他的值都是相互獨立的，下一部分會舉例說明這一點。
在1955年，一本名為《一百萬個隨機數》(One Million Random Digits)出版了。它的確就是它的書名描述的那樣：一頁又一頁的0到9的數字，被分塊以便閱讀，但是連續的數字是完全不可預測的——無論前麵的數字是什麽，你都會有1/10的概率猜對下一個。如今，現代計算機已經有內置的軟件來獲取與之相同的結果。輸入一個初始值——隨機數種子(seed)，一個確定的數學公式就會給出下一個值，它被當作新的隨機數種子，以此類推。這個過程中毫無隨機意義可言，並且如果每一次都是用相同的隨機數種子，就保證會生成完全相同的數列。但是，基於數學公式的巧妙選擇，生成的序列成了統計檢驗中的基礎，而且對於任何目的和用途來說，它看起來就好像是隨機的一樣。我們用偽隨機數列(pseudo-random sequence)這個術語來稱呼它。
無論在這個過程中有多麽小心，一定會有一些方法中的謬誤將會引起對隨機數應用場景的擔心。但是依賴大量受人尊敬的科學家的經驗，我還是會認為我電腦中根據需求產生的隨機數是可以接受的。(顯而易見的內部人員欺詐的風險導致了這些方法不能應用於彩票搖獎，或者英國溢價債券。)
蒙特卡羅方法
連續37次轉動標準的歐洲輪盤賭輪會得到多少不同的數字？理論上講，這個個數會是1~37之間的任何數，但是那些極端的值會十分罕見，最常出現的不同數字的個數是多少？
這個問題第一次呈現在我麵前的時候，我沒有立即看出有什麽簡單的方法能解決它。轉動賭輪37次會得到3737(一個有59位的十進製數)種可能的結果，而且當你試圖羅列，例如有28個不同數字的結果的時候，你將會很快失去熱情。一個更加吸引人的方法是進行一個所謂的蒙特卡羅模擬(Monte Carlo simulation)。
在這裏，計算機產生的隨機數流將會用來模擬37次轉動賭輪的結果，之後計算機將會計算有多少不同的數字出現了。這個過程將會重複100萬次，結果是24個不同數字出現了203 739次，而23個數字隻出現了199 262次。最接近的競爭對手是22或者25個數字，都出現了不到160 000次。大數定律告訴我們不同的結果出現的頻率將會穩定在它們的各自的概率，而且這些數字的確本質上證實了這件事：最有可能的結果就是有24個不同的結果會出現，概率剛剛超過20%。
幾天後，我羞愧於當時沒能找到一種標準的方法來解決這個問題!我能夠計算出對於任意的X，轉37次賭輪得到X個不同數字的精確的概率，以證明上麵的結論是正確的。但是這不會讓應用於這類問題的模擬失去效力——快速而粗糙的結果也會是很有用的。的確，模擬給出的結果與精確計算得到的結果保持一致這個事實，增加了我對計算機隨機數生成器按預想運行的信任。
一個更加嚴肅的蒙特卡羅方法的應用是在聚合物化學(polymer chemistry)中。一個分子是由大量的原子被隨機扭曲的長鏈連接構成的。原子們隻能出現在均勻分割的晶格中，並且關鍵的一點是，沒有兩個原子能夠出現在同一個位置。從分子的一端到另一端的距離可能有多遠？
我們可以認為原子被放置在一個醉漢走過的位置，這個醉漢搖搖晃晃地隨機經過三維空間中的晶格，但是因為某些原因不能在同一個位置經過兩次。沒有不能重複經過同一個位置的這個要求，數學家們可以給出很好的解答，但是這個限製條件似乎將問題複雜化到了理論無法解決的地步。然而，哪怕一個不專業的計算機程序員也可以寫出一個對這個複雜、曲折的鏈的合理的模擬，而且在100萬、1000萬，甚至10億次重複之後，得到一個所需的精確答案。(回憶棣莫弗的工作，精確度與模擬次數的算數平方根成正比。)
假設你想要估計一片不規則形狀葉片的麵積。畫一個包圍了這片葉子的矩形框，然後模擬大量的隨機分散到矩形內部的點的位置。你的估計就是用矩形區域的總麵積乘以落在葉子邊界內部的點的占比。
作為最後一個舉例介紹的應用，假設保羅(Paul)想要建一個新的加油站。如果他安裝4個加油泵，這是最小的可行的泵數，就會有至多8輛車的等待區；每個額外的泵減少2個等待區，所以如果他安裝了最多的8個泵，就沒有等待區了。為了計算多少個泵會讓他的收益最大，他可以進行對安裝了4、5、6、7或者8個泵的情況的模擬。
他應該知道潛在的顧客前來加油的比例和一輛車停在泵旁邊加油的時間的分布，還有安裝費用、運行費用與邊際收益。他也應該考慮到如果沒有加油泵空閑，或者隊伍過長時，一個潛在的顧客直接開過去不來加油的概率。找到或者估計所有這些數字都是相對簡單的，而且用計算機進行模擬會比在幾個月中以不同的泵數進行實地試驗便宜很多。因為他可以每一次都使用相同的隨機數種子，他就可以在精確相同的情況下運行所有的模擬，對比不同的估計從而增加收益。
為什麽叫“蒙特卡羅”呢？除了隨機數和賭場遊戲之間的明顯的聯係，這個名字其實原本用來指代軍事領域對這些方法的應用，這其中就包括了早期的核彈的研製[1]。
電碼中的錯誤
摩爾斯電碼(Morse code)告訴我們如何隻用兩種符號，比如說0和1來傳輸消息。但是其中一些符號也許會被損壞，以至於原本發出的0接收到的時候就變成了1，反之亦然。甚至在較低的錯誤率下，接收到的消息也會與發送的消息有天壤之別。我們如何應對這種情況？
假設每個傳送的符號都有相互獨立的較小概率被損壞。我們可以重複發送這些符號，但是稍微一想就會發現，發送00和11而不是0和1根本不能解決問題：如果01或者10到達，確認到底傳輸的是00還是11就全靠猜測。我們會猜對一半，但是重複發送符號意味著我們可以預見其中會產生兩倍的錯誤，所以兩種因素大部分相互抵消了。但是我們考慮一下傳輸000和111而不是0或者1。
采用“少數服從多數”的原則來進行解碼，所有的{000， 100， 010， 001}都被理解為0，其他4種可能的情況被理解為1。如果隻有1%的發送的符號被損壞了，那麽當000被發送出去，利用二項分布告訴我們有99.97%的概率上述的4種序列被接收到。這意味著錯誤率從1%降到了0.03%，降低了超過30倍。如果每個數字重複5次，我們可以得到更好的結果，但是消息變長會增大開支。最佳選擇將會依賴內在的錯誤率和傳輸的速度。
羊膜穿刺術
準父母(同時也是統計學家)樊娟娟(Juanjuan Fan)和理查德·萊文(Richard Levine)在考慮樊娟娟要不要接受羊膜穿刺術(amniocentesis)——可以檢測她的胎兒是否患有唐氏綜合征[2](Down’s Syndrome)。他們的經曆可以作為其他類似情況的模板。
基於樊娟娟的年齡和簡單的血液檢查，我們可以給出胎兒患有唐氏綜合征的概率為1/80；超聲圖像檢查的結果是令人滿意的，借助貝葉斯公式計算後，得到的患病概率減小到了1/120。羊膜穿刺術是一個侵入性的手術——一根中空的針刺入腹腔抽取羊水樣本；如果作為唐氏綜合征特征的21號染色體被檢測出多餘複製，就一定能夠確診，但是羊膜穿刺術這種檢測有一定的風險導致流產，在這個情境中風險概率估計是1/200。如果確診胎兒為唐氏綜合征後，父母們一定會選擇流產。他們應該接受這個檢測嗎？
樊娟娟和萊文通過使期望效用最大化的邏輯分析過程得出他們的決定。可能出現的最壞結果是沒有患唐氏綜合征的胎兒流產，其效用賦值為0；最好的結果，是出生的胎兒不患有唐氏綜合征，其效用賦值為單位1。不進行羊膜穿刺術，生下來患有唐氏綜合征的孩子，賦值效用x；進行了檢測，的確檢測出了唐氏綜合征的效用y應該大一些。(最後一個情況中檢測導致的流產就無關緊要了，因為無論如何胎兒都會被流產。)
他們計算出了進行檢測和不進行檢測的期望效用。如果第一個值超過第二個，就應該進行檢測，在這種情況下，就是要求y大於(119/200)+ x，粗略地要求y大於0.6+ x。
如果樊娟娟和萊文認為確診唐氏綜合征之後進行流產的效用小於0.6，那麽進行檢測就會毫無意義。他們給生下盡管患有唐氏綜合征的小孩的效用x賦值越高，那麽y的閾值就會越高。如果這個效用x超過0.4，那麽他們就一定不會接受檢測。
選擇x和y的合適的值需要一定的思考，而且如果基本的參數——接受檢測的流產概率為1/200，不接受檢測生下唐氏綜合征嬰兒的概率1/120——發生變換，最後計算得到的判斷準則就會變化(參見附錄)。簡單地講，如果胎兒患有唐氏綜合征的概率小於意外流產的概率，接受檢測就不合理了。真的是這樣嗎？
樊娟娟和萊文討論了他們麵臨的難題，他們讚同的效用值的選擇讓他們決定接受檢測。結果是美好的：沒有多餘的染色體，也沒有發生流產。
血友病
血友病(haemophilia)是一係列傷口產生後無法凝血的疾病的統稱。控製凝血的基因位於X染色體上，這個基因異常的概率小於1/5000。因為女性有兩個X染色體，所以她們隻會在兩個染色體上的基因均異常的時候才會發病，發病概率小於1/25 000 000，但是男性隻有1個X染色體(和一個Y染色體)，所以幾乎所有的病例均為男性。
如果男性患有血友病，這在他做父親之前就已經確定了，但是一個女性有可能有一個正常的X染色體和一個攜帶異常凝血基因的X染色體。這些女性被稱為攜帶者，而且她把異常基因傳遞給孩子的概率是50%。女兒繼承了異常基因會成為攜帶者，兒子繼承了異常基因就會成為血友病患者。維多利亞女王(Queen Victoria)肯定是一個攜帶者，因為她的兒子利奧波德(Leopold)是一個血友病患者，而她的5個女兒中至少2個是攜帶者，她的另外3個兒子沒有患這種病。
假設貝蒂(Betty)有一個患有血友病的兄弟，貝蒂有7個孩子，其中包括安妮(Anne)。那麽安妮是攜帶者的概率是多少？
為了解答這個問題，得到貝蒂是攜帶者的概率就足夠了，安妮的患病概率一定是這個值的一半。因為貝蒂的兄弟是血友病患者，所以貝蒂的媽媽是攜帶者。但就這個信息而言，貝蒂是攜帶者的概率是50%。而且如果安妮的任意一個兄弟患有這種疾病，貝蒂就一定是攜帶者，所以我們來看安妮的所有兄弟都正常的情況。
貝葉斯公式非常適合於這種情況。設“有罪”意味著貝蒂是攜帶者，因為有罪的先驗概率是50%，先驗賠率就是單位1。如果貝蒂是無罪的(不是攜帶者)，證據(所有的兄弟都是健康的)的概率就直接是100%。但是如果貝蒂是有罪的，每個安妮的兄弟都獨立地有50%的概率避免錯誤的基因，所以每個健康的兄弟都會讓似然比減半。將後驗賠率轉換為後驗概率，貝蒂是攜帶者的概率就相繼是1/3、1/5、1/9、1/17……，對應於她有1、2、3、4……個全部健康的兄弟。
圖10家庭成員關係
作為消遣你可以思考一下，假設安妮同時有姐妹，她們其中一些有兒子，而且安妮的這些侄子們都不患病。這將如何影響安妮是攜帶者的概率？將你的答案與附錄中的相對照。
流行病學
術語群體免疫(herd immunity)表示一個事實：如果足夠多的人免疫了，那麽即使傳染病進入社群，流行病也不會發生。因此即使那些沒有接種疫苗的人也非常不可能感染疾病。為什麽是這樣的，以及我們如何知道“足夠多”意味著多少？
通常來說，那些感染者將會把疾病傳染給其他人，但是那些痊愈了的就會獲得對這種傳染病的免疫。所以我們把人們分類成易感人群、受感染人群和去除人群，最後一個指的是那些接受疫苗注射、感染後康複、物理隔離或者已經死亡的人。將這四種情況歸為同一類看似有一些生硬，但殘酷的事實是，僅從流行病傳播的角度，這四種情況是完全等價的。
為了考察流行病是如何發展的，設S為易感個體數，I為受感染個體數。這兩個數字的乘積給出了受感染個體與易感個體可能接觸的總數。城市中擁擠的全體居民要比同樣多的農村中分散的全體居民更頻繁密切地接觸，而一個易感個體在一次接觸中被感染的概率依賴於疾病的傳染性。總的來說，在任意很小的時間段內，一些易感個體被感染的概率形如β×S×I，其中β同時依賴於疾病的傳染性和人們混合的情況。
在這個很短的時間段內，任何一個受感染個體可能會被移入去除人群中。因此受感染人群減少一個成員的概率將會與受感染的人數成正比，所以我們采用γ×I的形式，其中γ依賴於感染被治愈、隔離或者致死的速度。
我們已經分別得到了受感染人數上升和下降的概率。它們(β×S×I和γ×I)之間的平衡將決定流行病是否會發生。這十分類似賭博。如果遊戲局勢對你不利，每一個賭局都會減少而不是增加你的資金。你的資金遵循著隨機遊走的規律，不可避免地漂移到0。但是如果遊戲局勢對你有利，例如壞運氣在遊戲初期沒讓你破產，此時的隨機遊走就會使你從所有輸錢的趨勢中抽離出來，使你的資金遠遠超過0。要贏得大額賭金的話，遊戲對你有利這個條件是必要的，但不是充分的。
在這個流行病的情境中，這就意味著流行病(等同於大筆收益)隻會出現在受感染者數目變化是增加遠多於減少時。用符號描述，就是β×S×I遠大於γ×I，這也等同於要求易感個體數S超過比例γ/β，這個比例被稱為易感個體數的閾值(threshold)。這就是我們一直尋找的：即使疾病傳入人群中，流行病也隻會發生在易感個體數超過這個閾值的情況下。
威廉·科爾馬克(William Kermack)和安德森·邁肯德裏克(Anderson McKendrick)在1927年發表了這一結果。將易感人群總數控製在這個閾值以下可以阻止流行病的發生，兩種明顯不同的方法能達到這一效果。第一，接種疫苗來減少易感個體數；第二，找到增大閾值的方法。這個閾值是一個比值，分子增加的時候，閾值就會增加——加快治愈的速度，或者更迅速地將人們隔離——或者讓分母減小——也許可以降低疾病的傳染性，或者確保人們更少地相互接觸，這可以通過暫時關閉學校或者推遲有大批人群聚集的運動賽事進行。我們還可以評估這些對策的收益，以便決定采取什麽策略。
相同的原理對處理動物中的流行病也是奏效的。阻止牛群中口蹄疫暴發的第一步就是限製牛群的活動，這是通過降低分母來提升閾值。與此同時也會伴隨著大量屠宰(在人類中不可行!)，這樣不僅降低了易感個體，也會提升閾值的分子。
上述分析也揭示了為什麽我們更希望兩次兒童流行病暴發的間隔時間是相對有規律可循的。在一次流行病將易感個體數量減少到閾值以下之後，沒有足夠免疫的新生兒會逐漸將易感個體數提升到閾值以上，這就為下一次流行病的暴發創造了條件。兩次流行病暴發的間隔越長，易感人數就會越多，暴發就會越嚴重。
了解概率知識可能不會治愈疾病，但可以緩和疾病的影響。
批量測試
一支軍隊想要確定1000名潛在的新兵中有哪些是對某種疾病易感從而不適宜服役的，可以進行血液檢測，但每次檢測花費50英鎊。用少於50 000英鎊可以完成這項工作嗎？
如果易感人群隻占相當小的比例，那麽答案就是肯定的。選取數字K，收集K名新兵的血液混成一個樣本；然後測試這個樣本。如果結果是陰性的，那麽所有的這些抽血了的新兵就都是健康的，不需要進一步的檢測了；否則(檢出陽性)這組人裏麵至少有一個是陽性，所以我們再進行K次檢測，每個人進行一次，來確定到底誰是陽性。如果我們足夠幸運的話，一次檢測就夠用了，但我們有可能需要進行K+ 1次檢測。我們希望檢測次數比每個新兵單獨檢測的次數低。
對一次收集多少個人的樣本是最佳選擇依賴於檢測到陽性的概率。假設這個概率是1%。那麽如果我們一次混合10個樣本，那麽它是一個陽性樣本的概率大約是10%，同時這個樣本為陰性的概率是90%。所以90%的情況中我們隻需要1次檢測，但是10%的情況我們需要11次檢測。這致使每次需要平均2次檢測。混合10個樣本將會把檢測10名新兵的花費從500英鎊減少到100英鎊。如果我們將這1000個士兵每組10人地分成100組，然後混合他們的血液樣本，我們預期將會節省最初估計花費50 000英鎊的80%。
更加精細的計算顯示，如果檢測出陽性的概率的確是1%，將每組按11人批量檢測會比10人稍微好一點，但是其中的差別很小。但是批量檢測分組大小的最佳選擇對於檢測出陽性的概率是非常敏感的。如果我們預期2%的新兵會被檢測出陽性，那麽每組8人的時候花費最少；在預期的陽性率為5%的時候，每組5人花費最少；而在預期的陽性率為10%的時候，每組4人最合適。(又一次地，使用二項分布可以得到這些結果。)
在第二次世界大戰中，這個樸素的想法為美國節省了最初預期檢測花費的80%。
航班超額預訂
即使必須對那些支付過機票但被趕下飛機的乘客進行補償，航空公司還是會常規地售出比飛機載客量更多的機票。其中的原因涉及簡單的經濟學：航空公司完成一次航班的開銷幾乎不受乘客數目影響，但是每個空座位都會使收益減少。如果預期不是所有訂了某次特定航班機票的乘客都會乘機，那麽航空公司如何計算出最合適的超額預訂數量？
假設飛機上有100個座位，每個座位的費用是100英鎊，但是如果因飛機上位置已滿而拒絕一名乘客登機需要賠償其200英鎊。航空公司需要對一名預訂了機票的乘客實際乘機的概率進行較好的估計。對於前往旅遊目的地的包機來說，這個概率將會接近於100%，但是對於那些旅行計劃中有更多可變性的乘客來說這個概率會比較低。有關頻率的數據將會幫助航空公司估計這些概率。
假定每個預訂機票的乘客都獨立地有80%的概率會最終登機。如果售出120張票，總的收益就是12 000英鎊，而且，雖然平均隻有96名乘客會登機，但是有一定的概率，大概15%，超過100名乘客露麵，至少有一名乘客留在地麵。(這些數字再一次由二項分布給出。)這種情況下航空公司因為超額預訂而需支付的賠償平均為80英鎊。多售出5張機票將提升500英鎊收益，而平均全部賠償隻提升了275英鎊，所以這個策略預計會收益更多。平均收益最多的是售出128張票——比售出125張更多，額外的收益300英鎊也已經比平均賠償295英鎊更多了，同時售出129張票會比這稍差一點。
假設某些乘客比另一些乘客更有可能實際登機是更現實的，而且一組一起訂票的乘客要麽會全部出現，要麽全部不出現。這些細節會被容納到模型中，航空公司會繼續售出座位，直到多售出一個座位預計的賠償超過了額外收益的增加。
排隊
概率發展得最好的應用之一是在各種排隊中。最初的需求源自試圖理解電話線路中的阻塞現象——為表揚丹麥電話工程師艾格納·埃朗(Agner Erlang)的工作，電話通信流量大小以他的名字命名。排隊論為1948年和1949年的柏林空運[3](The Berlin Airlift)的勝利作出了貢獻，對排隊的係統性的學習在接下來的20年中蓬勃發展。
大衛·肯德爾(David Kendall)引入了一種記號，形如A/B/n，現在普遍作為在顧客逐個地加入隊列的時候，對於隊列的描述方法。第一個組成部分A指的是兩個顧客到達的間隔時間的分布，B指的是為1個顧客提供服務所需時間的分布，n是服務員的數量。
例如，在表達式D/D/3中，“D”是確定性(deterministic)的簡寫，它意味著完全沒有隨機性。顧客到達隊列末尾的間隔時間是恒定的，所有的服務時間都恰好相等，並且有3名服務員。這種隊列在概率的領域中可能並不讓人感興趣，因為其中沒有變化性。但若假設有大量的顧客，在很短的時間間隔內他們中的每一個都有很小的概率加入隊列，所以顧客以一個總體來說平均的時間間隔加入隊列，但是順序完全隨機。這種情況下使用符號M，為了紀念安德雷·馬爾可夫，所以M/D/2意味著顧客們隨機地到達並且選取兩個服務員中的一個，這兩個服務員完成工作花費的時間是固定的。
我們想知道隊列是如何運作的。最主要的問題是顧客們將會等多久，服務員多麽頻繁地無所事事，還有為了改善情況我們可以做什麽？“服務員”可能是重症監護病床，同時“顧客”就是等待看護的患者。
如果平均每5分鍾有一個顧客到來，一共有3名服務員，那麽除非平均服務時間少於15分鍾，否則就將會產生一個無限長的隊列，總體運營就無法維持了。所以我們必須假設考慮到了服務員數量之後，平均服務時間小於顧客加入隊列的時間間隔。這兩個平均時間的比值被稱為流量強度(traffic intensity)，是一個介於0和單位1之間的數值。
在理想情況中，顧客排隊時間比較短而且服務員將會一直工作。但是這兩種要求正好是矛盾的。以簡單的情況為例，有一個服務員而且顧客隨機到達。如果流量強度是0.9，計算顯示我們預計也許平均有5名顧客在等待，在10%的時間中隊伍中沒有人。如果流量強度增加到0.98，服務員將會隻在2%的時間內空閑，但是平均隊伍長度將會升高到25。大多數的顧客將會認為這是個比較差的安排。除非服務員們有更多的“空閑時間”，否則顧客們將會生氣或離開放棄這裏的服務，或者又生氣又離開。
隊列的運作不隻是依賴於流量強度。在其他條件相同的情況下，服務時間的可變性越強，預期隊列將會越長。在隻有幾個服務員的情況下，顧客加入唯一的一條隊伍之後分配給6個服務員(例如火車站)，與顧客可以選擇加入某一條隊伍之後等待(例如超市)是不一樣的。在某些情況下(例如叫救護車)某些顧客可能會有更高的優先級。許多的隊伍遵循著“先到者先服務”的規則，但是在不易腐爛的貨物存放在架子上等待使用時，可能會遵循“後到者先服務”的規則。某些隊伍會匯入其他隊伍，服務員們工作速度不同，一群顧客可能會同時到來。明察秋毫的排隊論理論家們可以解答幾乎所有你能想到的實用模型中的核心問題。
[1] 20世紀40年代，科學家馮·諾伊曼(John von Neumann)與斯塔尼斯拉夫·烏拉姆(Stanislaw Marcin Ulam)等人於美國洛斯阿拉莫斯國家實驗室(Los Alamos National Laboratory)為核武器計劃工作時，發明了蒙特卡羅方法，此方法的名稱來源於烏拉姆的叔叔經常光顧的位於摩納哥的蒙特卡羅賭場。
[2]又稱21-三體綜合征、先天愚型，是一種因為21號染色體的三體現象造成的遺傳疾病。
[3]英美等國為解除冷戰初期蘇聯對西柏林的物資封鎖而展開的空運行動。