第7章 量子台球
一天，湯普金斯先生結束了銀行漫長的工作，他忙了一整天房產方麵的業務，在回家的路上感到非常疲憊。這時正好路過一家酒館，決定進去喝一杯麥芽啤酒。湯普金斯先生一杯接著一杯下肚，很快酒勁就上來了，感到頭暈暈的。在酒館的後麵有一個台球室，裏麵擠滿了人，套著套袖，圍著中間的那張桌子在玩台球。他模模糊糊想起來之前自己來過這裏，是一個同事帶他過來的，還教了他怎麽打台球。他走近那張桌子開始看人家怎麽玩。這時一件非常怪異的事發生了！有個玩家將一個球放在了桌子上，然後用球杆撞了它一下。看著那個滾動著的台球，湯普金斯先生吃驚地注意到那個球開始“散開”。“散開”這個詞是他唯一能找到的來描述這個球的怪異行為的一個詞，那個球在滾過綠色的台毯時，似乎變得越來越看不清，原本清晰的輪廓逐漸模糊。它看起來不像是一個球滾過桌子，而是有大量的球，它們彼此都有一部分是相互重疊的。湯普金斯先生之前經常看到類似的現象，但是今天他沒有喝威士忌呀，他無法理解眼前發生了什麽。“好吧，”他想道，“讓我們瞧瞧這個爛爛的球是怎麽撞另一個球的吧。”
擊球的這個玩家很明顯是個高手，那個滾動的球就像人們想要的一樣，正中另一個球。撞擊的那一刻發出了一聲巨響，原來靜止的那個球和撞來的那個球（湯普金斯先生沒辦法明確分辨哪個是哪個），兩者都向“四麵八方”快速滾去。是的，這太奇怪了。現在再也不是兩個看起來鬆鬆垮垮的台球，而變成了無數個球，全部都變得非常模糊、非常鬆垮，在原來撞擊方向的大約180°的範圍內向外滾去，就像是從撞擊點向外散開的一個獨特的波。
“S波散射。”湯普金斯先生身後響起一個熟悉的聲音，他聽出來是教授。“那現在，”湯普金斯先生大聲問道，“有什麽東西又彎曲了嗎？我看這桌子非常平。”
白球向四麵八方散開
“你說得對，”教授回答，“這裏的空間是平整的，你所觀察到的其實是一種量子力學現象。”
“噢，是矩陣！”湯普金斯先生帶著嘲諷的語氣小心翼翼地說道。
“或者說是，運動的不確定性。”教授這麽說。
“這間台球室的主人收集到這裏的東西都遭受著，如果要我自己命名的話，‘量子巨化現象’。實際上自然界中所有物體都遵循著量子規律，但是在這些現象中起主導作用的所謂的量子常數是非常小的。事實上，它的數值是在小數點之後還有27個零的數字。然而，對於這裏的台球，量子常數就很大了——大約為整1——你輕易地就可以用肉眼觀察到量子現象，而在一般情況下科學家們隻能通過非常靈敏的、複雜的方法來進行觀察。”說到這裏，教授沉思了一會兒。接著他繼續說道，“我並不想要去追究，但是我想知道那個老板是從哪裏搞到這些球的。嚴格來講，這些球不存在於我們的世界中。對現在我們這個世界的所有物體來講，量子常數是同樣的一個很小的數值。”
“也許他是從另一個世界把它們進口過來的，”湯普金斯先生假設道。不過教授並不滿意這個回答，始終保持著懷疑態度。“你已經注意到了，”教授繼續說，“那兩個球都‘散開’了。這意味著它們在球桌上的位置是相當不確定的。實際上你不能很精確地標明每個球的位置，最多你隻能說球‘幾乎在那裏’，以及‘部分在其他地方’。”
“這太非同尋常了。”湯普金斯先生喃喃。
“恰恰相反，”教授堅持說，“它絕對正常，從任何物體上都會發生這種現象的這個意義上來說。隻不過是因為量子常數的數值太小以及一般的觀測方法太粗糙，所以人們沒有注意到這種不確定性。於是他們得到一個錯誤的結論，認為位置和速度都是可確定的量。事實上，這兩個量從某種程度上來說都是不可確定的，而且其中一個測量越是準確，另一個就越散開，測不準。量子常數主導著這兩個不確定性之間的關係。——看這裏，我要把這個球放到一個木頭三角框裏，它的位置就被限製住了。”
這個球一放進木框裏，整個三角框內部就閃爍著象牙色的光芒。
“快看！”教授喊道，“我把台球的位置限定在三角框幾英寸的範圍裏了。這導致了速度相當大的不確定性，球在木框裏麵才會快速運動。”
“你不能讓它停下嗎？”湯普金斯先生問。
“不能，從物理學來講是不可能的。任何物體在一個密閉空間裏都會有一定的運動——我們物理學家稱為零點運動。舉個例子，任何原子內部的電子的運動，都是零點運動。”
當湯普金斯先生注視著木框中的球像困在籠子裏的老虎一樣猛衝直撞時，發生了一件極不尋常的事。那個球直接從三角框的框壁中“露”了出來，接著就朝桌子遙遠的一角滾去。奇怪之處就在於它真的不是跳出了框，而是穿過框壁，沒有離開過台麵哪怕一毫米。
“看吧，”湯普金斯先生對教授說，“你的‘零點運動’逃走了。這符合你說的規律嗎？”
“當然符合，”教授說，“事實上，這正是量子理論最有意思的後果之一。隻要一個物體有足夠大的能量穿過牆壁後逃出，就不可能把它關在一個封閉的空間裏。這個物體遲早要‘露出’圍牆跑掉。”“那我以後再也不會去動物園了。”湯普金斯先生斷然地說。他那生動活潑的想象力立刻就描繪出一幅嚇人的畫麵：獅子和老虎紛紛穿透它們的籠子出來吃人了。不過他又轉念一想：想到了原本好好鎖在車庫裏的汽車會不會自己“露出來”，就像中世紀的鬼魂一樣穿車庫的牆而出。
“我要等多久呢，”他問教授，“才能看到一輛汽車——不是用這裏的材料製造的，而是用普通的貨真價實的鋼材造的——它從磚頭建的車庫圍牆‘露出來’？我非常想看到這一場景呢！”
就像中世紀的鬼魂
教授在大腦中飛快地計算了一下，準備好了答案：“大約需要等1 000 000 000…000 000年。”
就算湯普金斯先生已經習慣了銀行賬戶上出現的巨額數字，他還是數不清教授所說的數字有多少個零——至少數字是夠長了，他完全不用擔心自己的車會跑掉。
“假設我相信你所說的一切，我還是不明白，如果我們沒有這些球在這裏，那怎麽能夠觀察到這些現象呢？”
“這是一個合理的質疑，”教授說，“當然我的意思並不是說在你日常能夠接觸到的一些大物件上可以觀察到量子現象。我的點在於量子規律的效應隻有在應用到非常小的物質如原子或電子上時，才更可能被注意到。對於這些粒子來說，量子效應已經大到普通力學不適用的程度了。兩個原子之間的碰撞看起來正如你剛剛所觀察到的兩個台球的碰撞，一個原子內部電子的運動就與我放在三角框中的台球的‘零點運動’極為相似。
“那麽原子是不是經常會跑出來？”湯普金斯先生問道。
“是的，它們經常跑出來。你當然已經聽說過放射體這種物質，其內部原子自動分解，發射出速度非常快的粒子。這樣的原子，它的中心部分稱作原子核——就相當於一個車庫，原子核裏的粒子就相當於被鎖在車庫裏的車。它們會穿過原子核壁——有時分裂之後一秒都不會繼續待在原子核內部。在這些原子核內部，量子現象變得相當尋常可見。”
經過這一漫長的談話，湯普金斯先生感到非常疲倦，心不在焉地環顧著四周。他的注意力被房間角落裏放著的一個老爺鍾吸引了。它長長的老式鍾擺慢慢地搖來搖去。
“我看你對這個擺鍾很感興趣，”教授說，“這也是一個不尋常的機械——不過在現在看來它已經過時了。這個擺鍾就代表著人們最初考慮量子現象時所采用的方法。它的鍾擺的放置方法就使得它的擺幅隻能在有限的範圍內增加。然而現在，所有的鍾表匠都選擇采用獲得專利的散開擺。”
“天哪，我多希望能理解這一切複雜的東西！”湯普金斯先生驚歎。
“很好，”教授接過話來，“我本來在去往我關於量子理論的講座的路上，從窗外看見你在，我就進來了。現在是時候去講座了，可不能遲到。你願意跟我一起去嗎？”
“當然，我願意！”湯普金斯先生答應。
一如往常，巨大的演講廳裏坐滿了學生，即使是坐在台階上，湯普金斯先生都感到很愉快。
女士們，先生們：
在我前兩次的講座中，我努力向大家展示了，由於發現了所有物理速度的上限，以及分析了直線的概念，我們完全重建了關於時間和空間的古典概念。
然而，對物理學基礎進行批判性分析的發展，並不會停滯在這個階段，接著又出現了更多驚人的發現和結論。我接下來要講的是被稱為量子理論的一個物理學科分支，它與時間和空間自身的性質沒有多大關係，但是與物質在時空中的運動和相互作用卻有較大的關係。
在古典物理學中，人們似乎不需要證明就能接受一個觀點，兩個物體之間的相互作用可以降到無限小，隻要實驗條件允許，有必要的話還可以降到零。比如說，在研究某些過程中所產生的熱時，人們擔心放進溫度計會把一部分熱量帶走，從而導致所要觀察的正常的過程出現幹擾，那麽實驗者們總是確信采用比較小的溫度計或者是非常迷你的溫差電偶，就能把幹擾項降低到所要求的精確度極限以下。
人們很確信，從原理上講，任何一個物理過程都可以用任意所需要的精確度來觀察，觀察本身不會對過程造成影響。沒有人想過把這一種說法提出來詳細地闡述，並且總是把相關的所有問題都歸結為純粹的技術困難。然而，自20世紀初開始所積累的新的實驗事實，不斷地使物理學家們得出結論，認為真實的情況要複雜得多。在自然中存在一個確定的相互作用下限，這個下限永遠不能被超越。這個天然的精確度極限微乎其微可以忽略不計，我們日常生活中熟悉的所有過程都可以不考慮這個精確度，但是當我們在研究原子或分子這樣的微小的力學係統中所發生的過程時，這個極限就變得相當重要了。
1900年，德國物理學家馬克思·普朗克在從理論上研究物質與輻射之間的平衡條件時，得出了一個令人驚訝的結論，認為達到平衡是不可能的，除非我們假設物質與輻射之間的相互作用，並不如我們設想的那般是連續發生的，而是通過一係列的分開的“衝擊”來實現的，那麽在每一次的基本的相互作用中，物質與輻射之間轉移的能量是一定的。為了達到想要的平衡，也為了使理論得到實驗事實的證明，就有必要在每次衝擊所轉移的能量和能量轉移的過程的頻率（周期的倒數）之間引入一個簡單的數學比例關係。
因此，普朗克不得不用符號h來指代比例係數，能量轉移的最小能量，或者說是量子，可以用以下公式表示：
公式中v代表輻射的頻率，常數h的數量值是6.626×10-34焦耳·秒，這通常被稱為普朗克常數或者量子常數。正因為常數的數值極小，所以我們日常生活中的量子現象幾乎不能被觀察到。
普朗克這一想法的發展歸功於愛因斯坦，在這個想法提出後的幾年，愛因斯坦得出一個結論，輻射不僅僅在發射時才形成一個個有限的、分離的部分，它一直以這樣的方式存在，輻射是由許多分離的能量包組成的，他把能量包稱為光量子。
隻要光量子在運動，那麽除了會有能量hv外，它們也會有一定的動量，根據相對論力學，這個動量就相當於它們的能量除以光速c。要記住，光的頻率與它的波長λ之間存在一個關係，光量子的動量公式就是：
由於一個運動的物體所產生的力學作用取決於它的動量，我們必須得出結論：光量子的作用隨著波長的減小而增大。
對於光量子與光量子具有的能量和動量這個觀點的正確性，有一個最佳的實驗事實可以證明。這個實驗是由美國物理學家康普頓提出的。他在研究光量子和電子的碰撞時，得到了這樣的結果，在光線的作用下電子開始運動，它的表現就與被一個具有上麵兩個公式中的能量和動量的粒子擊中時相同。光量子本身，在與電子碰撞之後也表現出了一些變化（體現在頻率上），這與之前理論假設非常相符。
目前，我們可以說，就其與物質的相互作用而言，輻射的量子性質已經是完全確定的實驗事實了。
對量子概念進一步發展的是著名的丹麥物理學家玻爾，他於1913年首次提出一個觀點：任何一個力學係統內部的運動都可能具有僅一套可能的能量值，運動隻能通過有限的幅度來改變其狀態。在每一次這樣的遷移中，都會輻射出一定量的能量。確定力學係統各種可能狀態的數學法則要比現在這個輻射的公式複雜得多。我們在這裏就不深入探討公式了。我們隻應該表明，就像在光量子中，光動量是由光的波長決定的，那麽在力學係統中，任何一個運動的粒子的動能都與它所運動的空間區域的集合維度有關，以下公式可以表示出它的數量級：
這裏的l指的是運動區域的線性尺寸。由於量子常數數值是極小的，所以隻有對在類似於原子和分子內部這樣小的空間裏的運動，量子現象才尤其重要。它們在我們物質內部結構的知識中扮演著非常重要的角色。
這類微小的力學係統具有一套分離態的一個最直接的證明，是弗蘭克和赫茲做的實驗。他們在用不同能量的電子轟擊原子時發現，隻有當轟擊的電子的能量達到某一分離值時，原子的狀態才會發生變化。如果電子的能量低於某一極限，在原子中就不會觀察到任何現象，因為每一個電子所攜帶的電量不足以把電子從第一個量子態提升為第二個量子態。
因此，在量子理論發展的這個最初準備階段結束時，所出現的狀況不能說是對古典物理學的基本概念和原理進行修改，而隻是用相當神秘的量子條件對古典物理學或多或少設置了一些人為限製。從古典物理學中可能出現的連續的、多樣的運動中挑選出來一套分離的“允許”狀態。不過，如果我們更深入地去研究古典力學定律和我們現今擴展了的經驗所要求的量子條件之間的關係，我們就會發現，把這兩個結合起來得到的係統在邏輯上就沒有一貫性，而且經驗的量子限製會使古典力學所基於的關於運動的基本概念變得毫無意義。事實上，在古典理論中關於運動的基本概念是，任何一個運動的粒子在任何一個既定的瞬時在空間中占有確定的位置，而且擁有一個確定的速度，這個速度指的就是隨著時間的變化粒子在運動軌跡上位置變化的情況。
位置、速度和軌跡，古典力學整個的精致的建築就是基於這些基本概念而建成的。正如我們所有其他概念一樣，這些概念是在我們對周邊現象的觀察中形成的。就像古典的時空概念，一旦我們的經驗延伸到新的、先前未曾探索過的區域時，它也會麵臨影響深遠的修改。
如果我問某個人，他為什麽會相信任何一個運動的粒子在任意一個既定的瞬時都占有確定的位置，從而可以根據時間的變化而描繪出一條確定的軌跡，他最有可能回答：“因為當我觀察運動的時候，我是這麽看的。”讓我們來分析一下這種形成古典軌跡概念的方法，看一看他是不是真的能得到確定的結果。為了達到這一目的，我們設想一下一個物理學家，他配備有各種各樣最精密的儀器，嚐試著去追蹤一個從他的實驗室牆上扔下的小物體的運動。他決定通過“看”物體如何運動來進行觀察。為了更好地看到物體，他用了一個小而非常精準的經緯儀。當然，要想看到移動的物體，就需要把它照亮。他知道光線會對物體產生一種壓力，而且可能打擾它的運動，於是決定隻在觀察的瞬時才用短時間的閃光來照明。在第一組實驗中，他隻想觀察軌跡上的10個點，所以他把閃光源選得很微弱，這樣10次連續照明中光壓所產生的總效應在他所需要的精確度之內。因此，在物體掉落的過程中閃光燈閃10次，以他所希望的精確度，他在軌跡上獲得了10個點。
現在他想重複這個實驗，想獲得100個點。他知道100次連續照明會太過影響整體的運動了，因此在準備進行第二組觀察時，他把閃光強度降低到了第一次的到第三組觀察時，他想要獲得1000個點，於是他把閃光燈強度降到了第一次的。
按照這個方法將實驗觀察進行下去，持續地降低閃光燈的強度，他想在軌跡上獲得多少點就能獲得多少點，而誤差不會增大到超過他起初選定的限度。這一高度理想化設計在原則上來說是可行的操作流程，是通過“看運動的物體”來建立運動軌跡的一個嚴格的有邏輯的方法。你看，在古典物理學框架中，這完全是可行的。
但現在讓我們來看一看，如果我們引進了量子限製，並且考慮任何一種輻射的作用都隻能通過光量子的形式進行轉移這一事實，那麽會發生什麽情況呢？我們已經看到我們的觀察者在持續地減少照明運動物體的光的數量，現在我們必定會預料到，一旦他把光的數量減少到隻有一個量子，他就會發現觀察做不下去了，數量沒有辦法再繼續減少了。這時，要麽是整個光量子都從運動的物體上反射出來，要麽就是什麽都沒有反射，而且在第二種情況下，根本觀察不了。當然，我們知道光量子碰撞所產生的效應會隨著波長的增加而降低，我們的觀察者也知道這一點。為了增加觀察次數，他一定會采用較長波長的光，觀察次數越多，波長就越長。但這樣他還是會遇到另一個困難。
眾所周知的是，在采用某一波長的光時，我們不能看到比這個波長更小的細節。事實就是沒有人能用刷牆漆的刷子來畫波斯細密畫！因此，隨著用的光波長越來越長，他就不能推測出每一個點的位置，然後很快就發現他所做的每一個推測都是不確定的，推測的點甚至會比他的實驗室還要大。最終他被迫妥協，不得不在觀察點的數量和每一個點的不確定性之間采取一個適中的方法，他永遠都得不到像他古典學同事們所得到的數學曲線一樣精確的軌跡了。他得到的最好的結果可能就是一條相當寬的模糊的帶子，如果他基於自己的實驗結果而建立自己的軌跡概念，那麽這個概念將與古典概念大相徑庭。
彈簧上的小鈴鐺
上麵所討論的方法是光學的方法，現在我們可以嚐試另外一個可能性，采取一個機械的方法。為了達到實驗目的，我們的實驗者可以設計一些精巧的機械裝置，比如說安裝一些彈簧，彈簧上扣上小鈴鐺，每當有物體靠近它們的時候，它們就會把這個物體所經過的路線記錄下來。他可以把大量這樣的裝置分布到運動物體預料中可能經過的空間，然後物體經過以後，“響著的鈴鐺”就顯示了它的運動軌跡。在古典物理學中，人們想要這些“鈴鐺”多小、多靈敏都可以，在無限數量、無限小的鈴鐺的極限情況下，可以用一個想要的精確度來形成一個軌跡概念。然而，機械係統中的量子限製又一次破壞了這個情況。如果“鈴鐺”太小了，根據上麵那個公式（3），它們從運動物體中取走的動量就會太大，即使隻有一個鈴鐺被擊中，整個運動都會受到幹擾。如果鈴鐺大，那麽每個位置的不確定性也就非常大了。最後得出的軌跡依舊還是一個散開的帶子！
我擔心以上關於實驗者觀察軌跡的探討，會給大家造成一種太看重技術的印象。你可能更傾向於認為，盡管我們的觀察者無法用現在采用的方法來推測軌跡，但如果用上某些更為複雜的裝置，就能得到想要的結果。不過，我一定要提醒你，我們在這裏討論的不是在某個物理實驗室裏進行的某個特定的實驗，而是把最普通的物理測量問題理想化了。隻要是存在於我們這個世界上的任何一種作用，要麽可以歸於輻射作用，要麽就歸於純機械作用。任何一種精致的測量方法都必定離不開這兩種方法的要素，最後都導向了相同的結果。至於我們理想的“測量儀器”可以涵蓋物理世界所有的現象，我們最後應該得出結論，認為在量子定律起主導作用的世界裏，像準確的位置和形狀精確的軌跡這樣的東西，是不存在的。
讓我們再回到我們的實驗者身上，他想求出量子條件所強加的限製的數學公式。我們已經知道了，用過的兩種辦法中，位置的測定與運動速度物體的幹擾之間存在著衝突。在光學的方法中，因為力學的動量守恒定律，粒子受到光量子的撞擊後，必定會帶來粒子動量的不確定性，與所用的光量子的動量相當。因此，根據上麵的公式，我們可以寫出粒子動量不確定性的公式：
想起粒子位置不確定性是取決於波長的，我們推導出：
在力學方法中，運動粒子的動量被“鈴鐺”取走了一部分，所以造成了不確定性，運用之前的公式（3），再想一想在這個案例中粒子位置的不確定性是由鈴鐺的大小決定的，於是我們又得到了與前麵一個相同的公式。由此可見，由德國物理學家海森堡最先求出的這個公式，代表了基礎的不確定性，是量子理論最基本的不確定關係式（5）。這個關係式表明，位置測得越準確，動量就變得越不準確，反之亦然。
再回想到動量是運動粒子的質量和速度的乘積，我們可以得出：
對於我們常見的物體來說，這個動量小得滑稽。即使對於質量隻有0.000 000 1克的較輕的塵埃粒子，它的位置及速度都是可以測量的，而且精確度為0.000 000 01%！不過，對於電子（質量為10-29克）來說，?v?q的乘積大約達到100的數量級。在原子內部，電子的速度應該確定在±1010厘米／秒的範圍內，否則它將會逃出原子。這樣，位置的不準確性就等於10-8厘米，即與整個原子一樣大了。因此，電子在原子中的“軌道”就散開了，在這種情況下，軌跡的“厚度”等於它的“半徑”。此時電子將會同時出現在原子核周圍的每一處。
在過去的二十分鍾裏，我努力向大家展示我們批判古典運動概念所帶來的災難性後果。現在那些優美的、精確定義的古典概念已經支離破碎，給那些我稱為一團糨糊的東西留出了空間。你自然而然地可能會問我，物理學家究竟打算如何從無數的不確定性的觀點中去描述一個物理現象呢？
現在我們可以討論一下這個問題。很明顯，如果我們由於位置和軌跡都散開，一般不能從數學的點上來定義物質粒子的位置，也不能用數學的線來定義粒子的運動軌道，那麽我們就應該用其他的描述方法，這麽說吧，“爛糊糊在空間中不同的點的密度”。從數學上說，這意味著需要用到連續函數（流體力學中用的那種）；從物理上來講，這要求我們采用諸如此類的表達方式“物體大部分在這裏，一部分在那裏，還有一部分在那裏”或者“這枚硬幣75%在我口袋裏，25%在你口袋裏”。我知道這些表達嚇到你了，但是由於量子常數的值非常小，你在日常生活中永遠不會碰到它們。不過如果你要是打算去研究原子物理學，我強烈建議你先習慣這種表達。
在這裏我必須警告你們的是，不要產生一種錯誤的想法，認為這種描述“出現密度”的函數在我們日常三維空間裏具有物理現實意義。實際上，如果我們描述兩個粒子的行為，我們就必須回答當第一個粒子出現在一個地方的時候，第二個粒子出現在什麽地方的問題。要做到這個，我們就不得不采用有6個變量（2個粒子各有3個坐標）的函數，而這樣的函數不能在三維空間中適用。對於更複雜的係統，必須采用含有更多變量的函數。從這個意義上來講，“量子力學函數”類似於古典力學中粒子係統的“勢函數”或者類似於統計力學係統中的“熵”。它隻描述運動，幫助我們在既定的條件下預測某一特定運動可能的結果。隻有在我們描述粒子運動的時候，它才具有物理的現實意義。
描述一個粒子或粒子係統出現在不同地方的可能性有多少的函數，需要某種數學上的標記，根據奧地利物理學家薛定諤的看法，他首先寫出了定義這種函數行為的方程，這個函數一般用符號“ΨΨ”來表示。
我不想在這裏討論他的基本方程的數學證明，但我希望大家注意一下導出這個方程的必要因素。其中最重要的一點也是最不尋常的：這個方程的形式必須使得描述這個物質粒子運動的函數顯示出所有的波動特性。
有必要將波動特性歸因於物質粒子運動，這一觀點的首次提出者是法國物理學家德布羅意。他基於自己對原子結構的理論研究提出了這一觀點。在接下來的許多年裏，物質粒子運動的波動特性受到了很多實驗者的證明，展現了一些現象，比如一束電子穿過小小的開口衍射出去，又比如在相對於較大又較複雜的粒子如分子中也會發生幹涉現象。
從古典運動概念的角度，我們所觀察到的物質粒子波動特性絕對是無法理解的，對此，德布羅意被迫提出了一個相當不自然的角度：粒子在某種波的“陪伴”下，可以說，“引導了”它的運動。
不過，一旦古典概念被推翻，我們要用連續函數來描述運動，關於波動性質的要求就變得更能夠理解了。它不過是在說，我們“ΨΨ”函數的傳播並不類似於熱量透過牆壁這樣的傳播，而是類似於機械變形（聲音）透過牆壁的這種傳播。從數學的角度，這就要求我們所尋求的方程式是確定的且嚴格的。這個基本條件，以及額外要求（我們的方程式在用於量子效應可以不考慮的大質量粒子時，應該變成古典力學中的方程），實際上將尋找方程式這一難題變成了純數學練習。
如果你對方程式的最後形態感興趣，我寫在這裏給你看看：
在這個方程式中，U代表作用於粒子（質量為m）上的力勢。該方程對於任何一種既定的力場分布中運動的問題，都給出了明確的解答。這一“薛定諤波動方程”的應用，在它被提出後的四十年間，幫助物理學家對原子世界中所發生的所有現象都能描繪出最完整、最邏輯連貫的圖畫。
你們當中有些人一定在想，直到現在我還沒有說出那個在量子理論中經常被提及的術語——“矩陣”。我必須得承認，從個人角度，是相當討厭這種矩陣的，更偏向於不考慮它們。但是為了不讓你們完全不知道量子理論中這一數學工具，我稍微講一下。正如你們所看到的，人們在描述粒子運動或者一個複雜的力學係統時，都是用某個確定的連續波函數。這些函數常常相當複雜，可以看作由許多比較簡單的振動，所謂的“本征函數”組成的，就像是一個複雜的聲響是由許多簡單的諧波音符組成的。
我們可以通過給出它的不同分量的振幅，來描述出複雜的運動係統。既然分量（泛音）的數量是無限的，那麽我們就必須寫一個振幅無限表格，用以下形式表示：
以上的表格，遵循著比較簡單的數學運算法則，被稱為“矩陣”，與某一特定的運動相對應。一些理論物理學家喜歡用矩陣來運算，而不用波函數本身。因此，“矩陣力學”，他們有時會這麽稱它，就是尋常的“波動力學”在數學上的改變，在這些講座中，我的主要目的是講清楚主要的基本的物理問題，我們不需要太過深入這些數學問題。
很遺憾，時間不允許我向大家描述量子理論在與相對論相結合之後取得的進展。這一發展主要歸功於英國物理學家狄拉克的研究工作，他帶來了許多有趣的研究點，同時也提出了以下極為重要的實驗發現。以後我可能會回到這些問題上來講講，但是現在我必須結束講座了。我希望這一係列講座能夠幫助你對物理世界現在的概念有一個清晰的了解，並希望能激起你們深入研究的興趣。